解密20 双曲线-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密20 双曲线 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 双曲线的定义及方程 双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档. 2016课标全国Ⅰ5 2015课标全国Ⅰ5 ★★★ 双曲线的性质 2019课标全国Ⅰ16 2019课标全国Ⅱ11 2019课标全国Ⅲ10 2018课标全国Ⅱ5 2018课标全国Ⅲ11 2017课标全国Ⅲ5 2017课标全国Ⅱ9 ★★★★★ 考点1 双曲线的定义及方程 题组一 双曲线定义的应用 调研1 若双曲线E：的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于 A．1 B．13 C．1或13 D．15 【答案】B 【解析】由题意得,,,而,解得或1. 而,所以.选B． 调研2 已知F为双曲线的左焦点，为上的点．若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________． 【答案】44 【解析】易知双曲线的左焦点为， 点是双曲线的右焦点，虚轴长为， 双曲线的图象如图： ∴，① ，② 而， 则①+②得， 的周长为， 故答案为. ☆技巧点拨☆ 双曲线的定义是基础知识，很少单独在高考中出现，但其基础性不容忽视，注意掌握以下内容： 1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件． 2．双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有. 3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围. 题组二 求双曲线的方程 调研3 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为， 由题意得，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为， 代入，得，无解. 故双曲线的标准方程为.选B． 调研4 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即的焦点坐标为，即的焦点坐标为， ，① 又的面积为，时，，， ∴，得，② 由①②得，， ∴双曲线的方程为，故选D. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. ☆技巧点拨☆ 求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意： 1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程. 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为. 考点2 双曲线的性质 题组一 求双曲线的渐近线 调研1 已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的离心率e=, 则 故渐近线方程为. 故选D． 调研2 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，作于点，于点. 因为与圆相切，，所以，，，. 又点在双曲线上，所以，整理，得， 所以，则双曲线的渐近线方程为. 故选A． 题组二 求双曲线的离心率 调研3 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x， 圆即为（x﹣3）2+y2=4， 则圆心为（3，0），半径为2， 圆心到渐近线的距离为d=， 由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2， 即有c2=a2+b2=a2，则e==．故选D. 调研4 已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为 A．(1,3] B．[3，＋∞) C．(0,3) D．(0,3] 【答案】A 【解析】根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0， ∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a， 依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，当且仅当P，F1，F2三点共线时等号成立， ∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3， 又e＞1，∴1＜e≤3， 即双