湖南省娄底市2019-2020学年上学期高三期末教学质量检测数学理科试卷（PDF版，含解析）

$$ 娄底市 2019 年下学期高三教学质量检测试卷 数学(理科)参考答案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A C C B B C A D D D A B 11.A 【解析】设电线杆的下端分别为 M1，M2.且高度分别为 a，b.以 M1，M2 的中点为 原点，M1，M2 所在直线为 x 轴建系，由仰角的正切相等知 a|PM2|＝b|PM1|，则当 a＝b 时， 点 P 的轨迹为 M1，M2的垂直平分线，当 a≠b 时，点 P 的轨迹为圆．故选 A. 12．B 【解析】易知函数 f(x)只有一个零点 2，故 P＝{ }2 ，由题意知|2－β|<1，即 1<β<3. 由题意知，函数 g(x)在(1，3)内存在零点，由 g(x)＝x2－aex＝0，得 x2＝aex，所以 a＝ x2 ex.记 h(x) ＝ x2 ex(x∈(1，3))，则 h′(x)＝ 2xex－exx2 （ex）2 ＝ x（2－x） ex ，x∈(1，3)．所以当 x∈(1，2)时，h′ (x)>0，函数 h(x)单调递增；当 x∈(2，3)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；所以 h(x)≤h(2) ＝ 4 e2，而 h(1)＝ 1 e，h(3)＝ 9 e3> 1 e， 1 e<h(x)≤h(2)＝ 4 e2，所以实数 a 的取值范围为   1 e， 4 e2 .故选 B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 5 2 14. π 3 15．70 【解析】在圆上任取 4 个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆 内恰有一个交点，故交点个数为 C48＝70. 16. 2 【解析】由题意知 sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1，由基本不等式或柯西不等式知 sin α＋sin β≤ 2（sin2α＋sin2β）＝ 2cos γ，同理 sin β＋sin γ≤ 2（sin2β＋sin2γ） ＝ 2 cos α ， sin γ ＋ sin α ≤ 2（sin2γ＋sin2α） ＝ 2 cos β ， 相 加 即 得 cos α＋cos β＋cos γ sin α＋sin β＋sin γ ≥ 2. 三、解答题：本大题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】(1)Γ 在侧面展开图中为 BD 的长，其中 AB＝AD＝π，∴Γ的长为 2π；5 分 (2)当 θ＝ π 2 时，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有 A(0，－1，0)、B(0，1，0)、P   －1，0， π 2 、C1(－1，0，π)， AB→＝(0，2，0)、AP→＝   －1，1， π 2 、OC1 → ＝(－1，0，π).8 分 设平面 ABP 的法向量为 n＝(x，y，z)，则   2y＝0， －x＋y＋ π 2 z＝0， 取 z＝2，得 n＝(π，0，2)，10 分 所以点 C1到平面 PAB 的距离为 d＝ |OC1 → ·n| |n| ＝ π π2＋4 .12 分 18．【解析】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，S2n＝a2n＋1－λSn＋1，1 分 ∴S2n＝( )Sn＋1－Sn 2 －λSn＋1∴Sn＋1( )Sn＋1－2Sn－λ ＝0，∵an>0，∴Sn＋1>0.4 分 ∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，所以 Sn＋1＝2Sn＋λ.6 分 (2)当 n≥2 时，∵Sn＋1＝2Sn＋λ，Sn＝2Sn－1＋λ，相减得：an＋1＝2an( )n≥2 ， ∴{ }an 从第二项起成等比数列，8 分 ∵S2＝2S1＋λ，即 a2＋a1＝2a1＋λ，∴a2＝λ＋1>0 得 λ>－1，9 分 ∴an＝   1，n＝1， ( )λ＋1 2n－2，n≥2， 10 分 若{ }an 是等比数列，则 a1a3＝a22，∴2( )λ＋1 ＝( )λ＋1 2 ，∴λ＝1.12 分 19．【解析】(1)由抛物线 y2＝2px(p>0)过点 P(1，2)，得 p＝2，1 分 设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 由 PA，PB 倾斜角互补可知 kPA＝－kPB，即 y1－2 x1－1 ＝－ y2－2 x2－1 ，3 分 由 y21＝4x1，y22＝4x2，代入得 y1＋y2＝－4.4 分 (2)设直线 AB 的斜率为 kAB，由 y21＝4x1，y22＝4x2，得 kAB＝ y2－y1 x2－x1 ＝ 4 y1＋y2 (x1≠x2)，