解密19 椭圆-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密19 椭圆 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 椭圆的定义与标准方程及简单几何性质 从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养． 2019课标全国Ⅲ15 2018新课标全国Ⅱ 12 2017新课标全国Ⅰ 20 2017新课标全国Ⅱ 20 2017新课标全国Ⅲ 5，10 ★★★★★ 直线与椭圆的位置关系及综合问题 2019课标全国Ⅰ10 2018新课标全国Ⅰ 19 2018新课标全国Ⅲ 20 2017新课标全国Ⅰ 20 2017新课标全国Ⅱ 20 2017新课标全国Ⅲ 5，10 ★★★★★ 考点1 椭圆的定义与标准方程 调研1 对于常数、，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示的曲线是椭圆，则有，所以“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B． 调研2 过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程为，令x=0，则y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b=2， 令y=0，则x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a=4， 从而得到椭圆方程为， 故选A． 调研3 椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则的取值范围为________________． 【答案】 【解析】当时，椭圆表示焦点在轴上的椭圆，则，由题意可得，解得； 当时，椭圆表示焦点在轴上的椭圆，则，由题意可得，解得； 综上可知，实数的取值范围是． ☆技巧点拨☆ 求椭圆的方程有两种方法： （1）定义法，根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为或；③找关系，根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为． 考点2 椭圆的简单几何性质 调研1 椭圆的长轴两端点为，，离心率为，则短轴长为 A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得，，则， 又，即， 所以短轴长为．故选C． 调研2 已知椭圆：的右焦点为，点，若点是椭圆上的动点，则周长的最大值为 A． B．17 C．30 D． 【答案】D 【解析】设椭圆C的左焦点为，则△PQF的周长==12+5+=17+，当点Q为的延长线与椭圆C的交点时取等号，故选D． 调研3 若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为 A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】由题意得，，即，若，即，则，，不合题意，因此，即，则，解得，即，，所以椭圆的离心率为．故选A． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在轴或是轴）进行讨论，从而解决问题． 调研4 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为 A．(0，－1) B． C． D．(－1,1) 【答案】D 【解析】由正弦定理可得：，结合题意可得， 所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知. 因为为椭圆上一点，所以，即， 整理得，所以，解得. 故选D． ☆技巧点拨☆ 1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． 2．求椭圆离