专题四：利用勾股与旋转构图来证明三线段之间的平方关系（a2+mb2=kc2类型）-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题四：利用勾股与旋转构图来证明三线段之间的平方关系（a2+mb2=kc2类型） 导例：如图，四边形ABCD中，AB=AD=BD，AC＝2AB，∠BCD=30°，则线段BC，BD，CD之间的重量关系是__________． 方法指引 我们知道勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系，那么对于初中阶段三条线段a，b，c所涉及的a2+mb2=kc2类型，我们又如何进行处理呢？ 方法指引：通过等量代换，把已知条件中的a，b，c，进行必要的代换，涉及到辅助线的添加，构建出相应的直角三角形， 系数转化及联系：（1）含30°的直角三角形，三边之比， （2）含45°的直角三角形，三边之比 添加辅助线 1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的. 2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论. 因此，对于证明线段平方的和、差关系类的题型，要设法构造出直角三角形，然后利用勾股定理及等式的性质进行转化，往往涉及到全等三角形的证明及相应辅助线的添加 应用：当题目中出现等线段共端点的时候考虑补全旋转结构，从而进行条件的转化． 旋转法作辅助线就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，它具有以下特征： （1）旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证明题目的结论创造必要的条件。 （2）旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小），旋转后注意得到哪些全等图形，相等的角和相等的边； （3）旋转法作辅助线常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等具有相等邻边的图形中。 说明：在题中找中相应线段之间的量及关联性，依据全等进行相应线段的替换是处理问题的关键 导例答案：如图，以BC为边作等边三角形CBM，连接DM， ∵，∠MCB=60°,∴∠MCD=90°， 在Rt△MCD中，由勾股定理可得 ; ∵，∴△ABD为等边三角形， ∴∠ABD=60°；∵等边三角形CBM，∴BM=BC，∠MBC=60°， ∴∠MBC+∠CBD=∠ABD+∠CBD，即∠MBD=∠CBA; 在△ABC和△MBD中， ,∴△ABC≌△MBD， ∴AC=DM,∵AC=2AB，AB=BD， MC=BC，，∴BC2+CD2=4BD2. 典型剖析 例1.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE． （1）如图1，点D在AB边上，线段BD，BE，CD的数量关系为 ． （2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD，BE，CD的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，点D在点A左侧，BC=，AD=BE=1，请直接写出线段EC的长． 【分析】（1）结论：BE2+BD2=2CD2．证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE=90°，理由勾股定理即可解决问题． （2）结论：BE2+BD2=2CD2．如图2中，连接DE．证明方法类似（1）． （3）利用（2）中结论解决问题即可．解：（1）结论：BE2+BD2=2CD2． 变式练习：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2a，∠ADB=a （1）如图1，若a=30°，则线段AD、BD、CD之间的数量关系为 ； （2）如图2，若a=45°，线段AD、BD、CD满足怎样的数量关系？证明你的结论； 强化练习 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC． （1）如图1，若AB=1，BD：CD=1：2，则△ABD的面积为 ． （2）如图2，若D为线段BC上任意一点，探究BD，CD，AD三者之间的关系，并证明． （3）如图3，若AB=1，D为△ABC内一点，求DA+DB+DC的最小值． 2．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ． （1）依题意补全图1； （2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：； ②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ． 3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及AB中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F． （1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数； （2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的