解密16 空间向量与立体几何-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密16 空间向量与立体几何 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用空间向量求线面角 从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. 2018新课标全国Ⅰ18 2018新课标全国Ⅱ20 2017新课标全国Ⅱ19 ★★★★★ 利用空间向量求二面角 2019新课标全国Ⅰ18 2019新课标全国Ⅱ17 2019新课标全国Ⅲ19 2018新课标全国Ⅲ19 2017新课标全国Ⅰ18 2017新课标全国Ⅱ19 2017新课标全国Ⅲ19 ★★★★★ 考点1 利用空间向量证明平行与垂直 调研1 如图，在正方体中，是的中点，是线段上一点，且. （1）求证：； （2）若平面平面，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系， 则， 于是， 因为， 所以， 故. （2）由（1）可知的一个法向量为， 由，则， 设平面CDE的法向量为， 由，得 可取， 因为， 所以. ☆技巧点拨☆ 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法 设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则 （1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0； （2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0. 注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 考点2 求空间角 题组一 求异面直线所成的角 调研1 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A．− B．− C． D． 【答案】D 【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)． 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−. 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=. 调研2 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点D为原点，DA、DC、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P坐标为，则，设的夹角为，则，所以当时，取最大值.当时，取最小值.因为，所以与所成角的取值范围是.故选D. 【名师点睛】空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系．解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）． ☆技巧点拨☆ 利用向量求异面直线所成的角 一是几何法：作—证—算； 二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β=. 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|. 题组二 求线面角 调研3 如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点． （1）求证：PE⊥CD； （2）求PC与平面PDE所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE. 又△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥A