上海市闵行区2020届高三上学期质量调研考试（一模）数学试题（官方答案）

上海市闵行区2020届高三一模数学试卷 2019.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ， ，则 2. 复数 的共轭复数是 3. 计算： 4. 已知 ，使得 取到最大值时， 5. 在△ 中，已知 ， ， 为△ 的重心，用向量 、 表示向量 6. 设函数 ，则方程 的解为 7. 已知 ，则 （结果用数字表示） 8. 若首项为正数的等比数列 ，公比 ，且 ，则实数 的取值范围是 9. 如图，在三棱锥 中， 、 、 分别是 、 、 的中点， 、 分别是 、 的中点，设三棱柱 的体积为 ，三棱 锥 的体积为 ，则 10. 若 是正六边形 的中心， ， ，且 、 、 互不相同，要使得 ，则有序向量组 的个数为 11. 若 ，且 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 12. 设函数 （ ， ）， ，若 恰有4个零点， 则下述结论中：① 若 恒成立，则 的值有且仅有2个； ② 在 上单调递增；③ 存在 和 ，使得 对任意 恒成立；④“ ”是“方程 在 内恰有五个解”的必要条件； 所有正确结论的编号是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知直线 的斜率为2，则直线 的法向量为（ ） A. B. C. D. 14. 命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在正四面体 中，点 为△ 所在平面上的动点，若 与 所成角为 定值 ， ，则动点 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 已知各项为正数的非常数数列 满足 ，有以下两个结论：① 若 ，则数列 是递增数列；② 数列 奇数项是递增数列；则（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②均错误 D. ①②均正确 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4， 、 是底面的两条直径，且 ， ，圆柱与圆锥的公共点 恰好为其所在母线 的中点，点 是底面的圆心. （1）求圆柱的侧面积； （2）求异面直线 和 所成的角的大小. 18. 已知函数 . （1）若 为奇函数，求 的值； （2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为 、 、 三个校区建造一座垃圾处理站 ，集中处理三个小区的湿垃圾，已知 在 的正西方向， 在 的北偏东30°方向， 在 的北偏西20°方向，且在 的北偏西45°方向，小区 与 相距2 ， 与 相距3 . （1）求垃圾处理站 与小区 之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里 元，一辆小车的行车费用为每公里 元（其中 为满足 是1 99内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案： 方案1：只用一辆大车运输，从 出发，依次经 、 、 再由 返回到 ； 方案2：先用两辆小车分别从 、 运送到 ，然后并各自返回到 、 ，一辆大车从 直接到 再返回到 ；试比较哪种方案更合算？请说明理由. （结果精确到小数点后两位） 20. 已知抛物线 和圆 ，抛物线 的焦点为 . （1）求 的圆心到 的准线的距离； （2）若点 在抛物线 上，且满足 ，过点 作圆 的两条切线，记切线为 、 ，求四边形 的面积的取值范围； （3）如图，若直线 与抛物线 和圆 依次交于 、 、 、 四点， 证明：“ ”的充要条件是“直线 的方程为 ”. 21. 已知数列 满足 ， （ ）， （ ）， . （1）当 时，写出 所有可能的值； （2）当 时，若 且 对任意 恒成立，求数列 的通项公式； （3）记数列 的前 项和为 ，若 、 分别构成等差数列，求 . $$ 1 2 3 4 $$