专题13 等差、等比数列的应用-巅峰冲刺2020年高考数学二轮专项提升（江苏）

专题13 等差、等比数列的应用 1．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ） A． 当 B． 当 C． 当 D． 当 3、【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 4、【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则___________. 5、【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________． 6、【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 7、【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 8、【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （1）求{an}的通项公式； （2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 一、等差数列 1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示 2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形： （1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式 （2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项 （1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即 （2）如果为等差数列，则，均为的等差中项 （3）如果为等差数列，则 4、等差数列通项公式与函数的关系： ，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。 5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形： （1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可 （2）由通项公式可得： 作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。 （3）当时， 因为 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当时 ，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析 二、等比数列 1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列 2、等比数列通项公式：，也可以为： 3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项 （1）若为的等比中项，则有 （2）若为等比数列，则，均为的等比中项 （3）若为等比数列，则有 4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为 当时，则为常数列，所以 当时，则 可变形为：，设，可得： 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列，则有 ① 数列（为常数）为等比数列 ② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 ③ 数列为等比数列 ④ 数列为等比数列 6、等比数列的判定：（假设不是常数列） （1）定义法（递推公式）： （2）通项公式：（指数类函数） （3）前项和公式： 题型一 等差数列与等比数列的基本量 等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组）.,d(q),n等5个基本量知三求二。 1、（2019年江苏卷）.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____ 2、（2017江苏卷）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ． 3、（2016江苏卷） 已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是 . 4、(2019苏北三市期末）在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________． 例5、(2018苏锡常镇调研） 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则 ． 题型二 等差数列与等比数列的性质 在解数列填空题时，记住一些常见的结论可以大大提高解题速度．(1)在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)在等