专题07 导数的基础应用-2020年高考理科数学总复习热点题型归类训练

2020年高考理科数学总复习《热点题型归类训练》 专题07 导数的基础应用 题型一 导数的几何意义 (1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法 类型 方法 已知切点P(x0，y0)，求切线方程 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程 已知切线的斜率k，求切线方程 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程 已知切线上一点(非切点)，求切线方程 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程 (2)由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键 类型 解题关键 已知曲线在某点处的切线求参数 关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值 已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围 关键是过好“双关”；一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围 【例1】(2019·成都第二次诊断性检测)已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为(　　) A．2 B．1 C．e2 D．－e2 【举一反三】1.(2019·文峰区校级月考)若函数f(x)＝x3－2ln x＋4，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝x＋4 B．y＝x－3 C．y＝2x＋3 D．y＝3x＋2 2．(2019·芜湖市一模)曲线f(x)＝aln x在点P(e，f(e))处的切线经过点(－1，－1)，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．e D．2e 题型二 求函数的单调区间或判断函数的单调性 利用导数求函数的单调区间的三种方法 (1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．　 【例2】已知函数f(x)＝x2＋alnx. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 【规律总结】 1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. 2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性． 【举一反三】已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，且1<a<2，试讨论函数f(x)的单调性． 题型三 已知函数的单调性求参数 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．　 【例3】已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围． 【举一反三】已知x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点． (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围． 题型四 利用导数研究函数的极值(最值)问题 1.利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在求得极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．　 2.已知函数极值点或极值求参数的方法 列