专题2.3.1 平面向量基本定理重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.3.1平面向量基本定理重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 注： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量. 2．如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算． 【知识点2 向量的夹角】 已知两个非零向量与，在平面上任取一点O，作，，则叫做与的夹角，记为〈，〉．当向量与不共线时，与的夹角；当向量与共线时，若同向，则；若反向，则，综上可知向量与的夹角． 当向量与的夹角是，就说与垂直，记作． 注： （1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题． （2）向量是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直． 【考点1 平面向量基本定理的理解】 【例1】（2019秋•苏州期末）设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】设、是平面内的两个向量，则有　　 A．、一定平行 B．、的模相等 C．对同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则对平面内的任一向量都有 【变式1-2】（2019•福田区校级模拟）如果，是平面内所有向量的一组基底，那么　　 A．若实数，使，则 B．空间任一向量可以表示为，这里， C．对实数，，不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使的实数，有无数对 【变式1-3】已知是平面内两个不共线的向量，给出下列四个命题： ①可以表示平面内的所有向量； ②对于平面内的任意向量，使的实数，有无数对； ③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得； ④若实数，，使，则 其中假命题的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．仅② 【考点2 平面向量的夹角】 【例2】（2019•马鞍山二模）已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2019春•平罗县校级月考）等边三角形中，与夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2019春•厦门校级月考）已知等腰直角三角形的斜边为，则向量与夹角的大小为　　． 【变式2-3】已知，且与的夹角为，求与的夹角，与的夹角． 【考点3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（2020•遂宁模拟）如图，在中，，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2018秋•宣城期末）如图，在梯形中，，为线段上一点，且，为的中点，若，则的值为　　 A． B． C．0 D． 【变式3-2】（2019春•莆田期末）在中，，，与交于点，，则的值是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2019秋•内蒙古月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【考点4 用基底表示向量—向量方程组法】 【例4】（2019春•淄博期中）如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，试用基底、表示向量． 【变式4-1】（2019春•城关区校级月考）如图所示，在中，点是边上，且，点在边上，且，与相交于点，设，，用，表示． 【变式4-2】（2019秋•湖北期末）如图，在中，，，与交于点，设，．用，表示； 【变式4-3】（2019春•渭滨区校级期中）如图，在中，，，，分别在，上，且，，与的交点为，试用，表示． 【考点5 用基底表示向量—线性运算法】 【例5】（2019春•兴庆区校级期中）如图，已知在中，点是以为中心的点的对称点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，．用，表示，； 【变式5-1】（2019春•拉萨校级期末）如图，已知中，点关于点的对称点为，在线段上，且，和相交于点．设，．用、表示向量、． 【变式5-2】（2018春•常宁市校级期末）如图，平行四