解密11 等差数列、等比数列-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密11 等差数列、等比数列 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 等差数列 从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用. 2019新课标全国Ⅰ 9 2019新课标全国Ⅲ 14 2018新课标全国Ⅰ 4 2018新课标全国II 17 2017新课标全国Ⅰ 4 2017新课标全国II 15 ★★★★★ 等比数列 2019新课标全国Ⅲ 5 2019新课标全国Ⅰ 14 2018新课标全国Ⅲ 17 2017新课标全国Ⅱ 3 2017新课标全国Ⅲ 14 ★★★★★ 等差数列与等比数列的综合 2019新课标全国II 19 2017新课标全国III 9 ★★★★ 考点1 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 调研1 在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为 A．20 B．22 C．24 D．28 【答案】C 【解析】由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120， 解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10，则2a10－a12＝a8＝24. 故选C. 调研2 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn＋2−Sn=36，则n= A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知，Sn＋2=(n＋2)2，由Sn＋2−Sn=36得，(n＋2)2−n2=4n＋4=36，所以n=8. 故选D. 解法二：Sn＋2−Sn=an＋1＋an＋2=2a1＋(2n＋1)d=2＋2(2n＋1)=36，解得n=8. 所以选D． 题组二 等比数列基本量的计算 调研3 在各项均为正数的等比数列{an}中，若，则a6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q(q≠0)，∵a2=1，则由得，即，解得q2=2， ∴. 调研4 设等比数列的前项和为，若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：很明显数列的公比， 则由，得，即，所以. 故选C. 方法二：很明显数列的公比， 设等比数列的前n项和为，由题意可得：，解得：， 据此有：. 本题选择C选项. 【名师点睛】一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制. ☆技巧点拨☆ 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a1和公差d(公比q)． （2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 考点2 等差数列、等比数列的判定与证明 题组一 等差数列的判定与证明 调研1 已知数列满足=1，，则=_____． 【答案】 【解析】数列满足，，则常数， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 则，所以， 故答案为. 【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等差数列的定义，等差数列的通项公式，属于中档题.根据递推公式可得，由等差数列的定义及通项公式可求出. 调研2 设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项． （1）证明：数列{an}为等差数列； （2）若bn=−n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值． 【答案】（1）见解析；（2） 当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6. 【解析】（1）由已知可得2Sn=a＋an，且an>0， 当n=1时，2a1=a＋a1，解得a1=1； 当n≥2时，有2Sn−1=a＋an−1， 所以2an=2Sn−2Sn−1=a−a＋an−an−1， 所以a−a=an＋an−1，即(an＋an−1)(an−an−1)=an＋an−1， 因为an＋an−1>0， 所以an−an−1=1(n≥2)． 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可知an=n， 设cn=an·bn，则cn=n(−n＋5)=−n2＋5n=−2＋， 因为n∈N*， 所以当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6. ☆技巧点拨☆ 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等