上海市静安区2019-2020学年第一学期高三第一次模拟考试（期末）数学试卷（简答）

静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2019.12 本试卷共有21道试题,满分150分.考试时间120分钟. 一．填空题(本大题共12题,1-6每题4分, 7-12每题5分, 共54分) 1.计算 . 2.在单位圆中,的圆心角所对的弧长为 . 3.若直线和的倾斜角分别为和,则与的夹角为 . 4.若直线的一个法向量为,则直线的斜率 . 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次, 每个细胞分裂为两个细胞.则7小时后,1个此 种细胞将分裂为 个. 6. 设是等腰直角三角形,斜边.现将(及其内部)绕斜边所在的直 线旋转一周形成一个旋转体,则该旋转体的体积为 . 7.如图,在平行四边形中.则的值为 . 第7题图 8.三倍角的正切公式为 . (用 表示) 9.设集合共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为 .  10.现将函数的反函数定义为反正割函数,记为:. 则 .(请保留两位小数) 11.设双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点 到坐标原点的距离的最小值为 . 12.设,我们可以证明对数的运算性质如下： 我们将式称为证明的“关键步骤".则证明(其中)的“关键步骤”为 . 2、 选择题〈本题满分20分)本大题共有4题,毎题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13. “三个实数成等差数列”是“"的 （ ） A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件    D.既不充分也不必要条件 14.设,若复数是纯虚数,则点一定满足 （ ） A.  B.  C. D. 15.若展开,则展开式中的系数等于 （ ） A.在1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和 B.在1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和 C.在1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和 D.以上结论都不对 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向,且塔顶的仰角为,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处,此时测得塔底位于北偏西方向,则该塔的高度约为 （ ） A.265米   B.279米   C.292米   D.306米 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸得规定区域（对应得题号）内写出必要的步骤. 17.（本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分） 如图,在正六棱锥中,已知底边长为2,侧棱与底面所成角为. （1）求该六棱锥的体积: （2）求证: . 18.（本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分） 请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同. （1）如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形,如何截取?并求出这个最大矩形的面积. （2）如图2,要在一个长半轴为2米,短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形,  如何截取?并求出这个最大矩形的面积. 图1 图2 19.（本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分） 设是等差数列,公差为,前项和为. （1）设,求的最大值; （2）设,数列的前项和为,且对任意的,都有,求的取值范围. 20.（本题满分18分,第1小题5分,第2小题6分,第3小题7分） 已知抛物线的准线方程为,焦点为. （1）求证:抛物线上任意一点 的坐标都满足方程 ; （2）请指出抛物线的对称性和范围,并运用以上方程证明你的结论: （3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点,求线段的中点的轨迹方程. 21.（本题满分18分,第1小题5分,第2小题6分,第3小题7分） 现定义:设是非零实常数,若对任意的,都有, 则称函数为“关于的偶型函数”. （1）请以三角函数为例,写出一个“关于2的偶型函