专题17 角的表示与度量比较（知识点串讲）-2019-2020学年七年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

专题17 角的表示与度量比较 知识框架 重难突破 一、角的概念 1、角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 备注：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2、角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 备注：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 例1．（2019·云南初一期末）如图，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠AOC也可以用∠O表示 C．∠β＝∠BOC D．图中有三个角 2．（2018·湖北初一期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ） A． B．C． D． 例2．（2018·安徽初一期末）已知∠1和线段a,b，如图 （1）按下列步骤作图（不写作法,保留作图痕迹） ①先作∠AOB，使∠AOB=∠1. ②在OA边上截取OC，使OC=a. ③在OB边上截取OD，使OD=b. （2）利用刻度尺比较OC+OD与CD的大小. 二、角的比较与运算 1、角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 备注：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 2、角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3、角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 备注：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 4、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 备注：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 例1．（2018·安徽初一月考）若∠A=28°18′，∠B=20°15′30″，∠C=20.25°，则 A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠C C．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B 练习1．（2019·安徽初一期末）下列换算中，错误的是（ ） A． B． C． D． 例2．（2019·安徽初一期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD=90°，当∠AOC=50°时，∠BOD的度数是（ ） A．40° B．140° C．40°或140° D．40°或90° 练习1．（2018·安徽初一期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝145°，则∠BOC等于（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 例3．（2018·和县五显初级中学初一期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角项点重合于O点，则∠AOC+∠DOB=（ ） A．180° B．90° C