2020年1月3日 函数的单调性、极值、最值与导数-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（必修5+选修1-1）

1月3日 函数的单调性、极值、最值与导数 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆ 已知函数． （1）令，求函数的单调区间； （2）已知函数在处取得极大值，求实数a的取值范围． 【参考答案】（1）见试题解析；（2）． 【试题解析】（1）由，可得， 则， 当时，时，，函数单调递增； 当时，时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减． 所以当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）知，． ①当时，单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在处取得极小值，不符合题意． ②当时，，由（1）知在内单调递增， 可得当时，，时，， 所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意． ③当时，，在(0，1)内单调递增，在内单调递减， 所以当时，，单调递减，不符合题意． ④当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，符合题意． 综上可知，故实数a的取值范围为． 【解题必备】（1）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知等比数列的前项和为，则的极大值为 A． B． C． D． 3．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围． 1．【答案】C 【解析】因为，所以由题设在上恒成立， 得，解得．故实数的取值范围是， 故选C． 2．【答案】B 【解析】因为等比数列的前项和为 ，所以 ， 得，又，所以，， 所以，， 可得在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极大值为， 故选B． 3．【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）． 【解析】（1）当时，，定义域为， 则， 令，解得； 令，