解密09 正、余弦定理及解三角形-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密09 正、余弦定理及解三角形 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 2019课标全国Ⅱ15 2018课标全国Ⅰ17 2018课标全国Ⅱ6 2018课标全国Ⅲ9 2017课标全国Ⅰ17 ★★★★★ 解三角形与其他知识的交汇问题 2019课标全国Ⅰ17 2019课标全国Ⅲ 17 2017课标全国Ⅱ17 ★★★ 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 调研1 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 即，即， ，，得，，. 由余弦定理得， 由正弦定理，因此，. 故选B. 【名师点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.求解时，利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值. 调研2 在中，角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，，求，． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由正弦定理，得． 又因为在中． 所以． 法一：因为， 所以，因而． 所以， 所以． 法二：即， 所以， 因为， 所以． （2）由正弦定理，及， 所以，① 由余弦定理，得，即，② 把①代入②得. 【名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可． 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”； 若想“角”往“边”化，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等． 题组二 与三角形面积有关的问题 调研3 在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】由题意得，即，∴， 故答案为. 【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及由公式求得面积. 正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为. 调研4 如图，在中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD． (1)求AD的长； (2)求的面积． 【答案】(1)5；(2). 【解析】(1)在中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，所以BD＝2x. 在中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝＝. 在中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝5，所以cos∠ADC＝＝. 因为∠CDB＋∠ADC＝π， 所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即＝－，解得x＝5. 所以AD的长为5. (2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝＝5. 所以cos∠CBD＝＝， 从而sin∠CBD＝. 所以S△ABC＝×AB×BC×sin∠CBA＝×15×5×＝. 题组三 三角形形状的判断 调研5 在中，三边、、所对的角分别为、、，若则的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理有：，即：， 据此可得：，则， 故或，即或， 据此可得：的形状为等腰三角形或直角三角形. 本题选择C选项. 【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 调研6 中,角的对边分别是，且. (1)求; (2)若的面积为,试判断此三角形的形状. 【答案】(1)60°；(2)等边三角形. 【解析】(1)由正弦定理及得,， 即, ∵, ∴, ∵,∴, ∴. (2), 由余弦定理得:=, ∵,∴, 故是等边三角形. ☆技巧点拨☆ 判断三角形的形状有以下几种思路： （1）