专题十八：最短路径——费马点问题探究-2020中考数学专题突破

专题十八：最短路径——费马点问题探究 ( 专题导入 ) 导例：如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）． A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 ( 方法点睛 ) 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点（如图1点的点P）． 费尔马的结论： （1） 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点， （2） 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 下面简单说明如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题． 图1 图2 指引：如图2，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B，P，P′，C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小． 这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° 费马点的特点：费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线， 【导例解析分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF，AE，AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知△PFC是等边三角形，∴PC＝PF． ∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF． ∴当A，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．∴tan∠ACB＝＝． ∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4． ∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°．∴AE＝＝2． 故选：B．[来源:Zxxk.Com] ( 典例精讲 ) 类型一：与三角形有关的费马点 例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD． 【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA 【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是　　（用a，b表示） 【分析】【探究】由等边三角形的性质得出PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，得出∠PCA＝∠MCD，证明△ACP≌△DCM，得出MD＝PA； 【应用】连接BD，由全等三角形的性质得出∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，求出∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝120°，作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，由直角三角形的性质得出CF＝AC＝b，DF＝CF＝b，求出BF＝a+b，由勾股定理求出BD＝ ＝,,即可得出结论． 类型二：与四边形有关的费马点 例2 ．已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为+，求此正方形的边长． 【分析】：连接AC，发现点E到A，B，C三点的距离之和就是到△ABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同． ( 专题过关 ) 1.若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点． （1） 若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为 ； （2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC． 图8 2. （2019年武汉市）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　　． 3．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最