2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题四多元最值问题 (共3份打包)

热点难点微专题四　多元最值问题 多元问题是代数问题中重点和难点问题．二元或者三元取值范围问题是考察重点，常见于基本不等式的应用中，函数和数列的综合问题中．这类考察了减元思想以及整体思想的运用，将多元问题转化为一元问题来处理． 例　(1) 若a，b∈R，且a2＋2ab－3b2＝1，则a2＋b2的最小值为________． (2) 设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为________． (3) 已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2＋b2＋c2＝84，则实数b的取值范围为________． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 已知正实数a，b满足9a2＋b2＝1，则的最大值为________． 2. 已知x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为________． 3. 已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为________． 4. 若a，b，c是三个正实数，且a2＝ab＋bc＋ac，则的最小值为________． $$第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题二　多元最值问题 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 多元问题是代数问题中重点和难点问题．二元或者三元取值范围问题是考察重点，常见于基本不等式的应用中，函数和数列的综合问题中．这类考察了减元思想以及整体思想的运用，将多元问题转化为一元问题来处理． 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例　(1) 若a，b∈R，且a2＋2ab－3b2＝1，则a2＋b2的最小值为________． (2) 设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为________． (3) 已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2＋b2＋c2＝84，则实数b的取值范围为________． 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (1)eq \f(\r(5)＋1,4) 解析：解法一：条件为(a＋3b)(a－b)＝1，设m＝a＋3b，n＝a－b， 则mn＝1，且4a＝m＋3n,4b＝m－n， 所以16(a2＋b2)＝(m＋3n)2＋(m－n)2＝2m2＋10n2＋4， 因为2m2＋10n2≥4eq \r(5)，所以a2＋b2≥eq \f(\r(5)＋1,4). 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解法二：设1＝a2＋2ab－3b2≤a2－3b2≤a2－3b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λa2＋\f(1,λ)b2)) ＝(1＋λ)a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)－3))b2(λ>0)． 令1＋λ＝eq \f(1,λ)－3，解得λ＝eq \r(5)－2. 再将λ＝eq \r(5)－2回代可得，(eq \r(5)－1)a2＋(eq \r(5)－1)b2≥1，即a2＋b2≥eq \f(\r(5)＋1,4). 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (2) －eq \f(1,2) 解析：解法1: 因为 c≥a2＋b2，所以a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))2－eq \f(1,2)， 故a＋b＋c的最小值为－eq \f(1,2). 【方法归类】　根据条件进行放缩，利用配方法解决问题． 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解法2: 因为 c≥a2＋b2，所以a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2. 又因为 a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2) ，故 a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＋(a＋b)＝eq \f(1,2)[(a＋b)＋1]2－eq \f(1,2)， 故a＋b＋c的最小值为－eq \f(1,2). 【方法归类】　根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想． 第*页 热点难点微专题二　多元问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解法3: 换元法 令 a＝rcosθ，b＝rcosθ，r∈[0,1]． a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2＝r2＋r(cosθ＋sinθ)＝r2＋eq \r(2)rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,