2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十一函数中的多元问题处理 (共3份打包)

热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 函数与导数的综合问题中经常出现与函数零点或导函数零点有关的论证问题即极值点偏移问题，如若函数f(x)存在2个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)，这类问题本质是对二元(x1，x2)问题的研究． 例1　已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R. (1) 当b＝2a＋1时，试讨论函数f(x)的单调性； (2) 当a＝1，b>3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的2个零点是x1和x2 (x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)>－ln2. 点评： 例2　已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． (1) 当x>1时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2) 若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)＜4lnx成立，求实数k的取值范围； (3) 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.　　 点评： 【思维变式题组训练】 1. 若函数f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且≥2，则实数a的取值范围是________． 2. 设函数f(x)＝x－asinx(a>0)． (1) 若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； (2) 设a＝，函数g(x)＝f(x)＋blnx＋1(b∈R，b≠0)，g′(x)是g(x)的导函数． ① 若对任意的x>0，g′(x)>0，求证：存在x0，使g(x0)<0； ② 若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证：x1x2<4b2. $$第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 函数与导数的综合问题中经常出现与函数零点或导函数零点有关的论证问题即极值点偏移问题，如若函数f(x)存在2个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)，这类问题本质是对二元(x1，x2)问题的研究． 第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R. (1) 当b＝2a＋1时，试讨论函数f(x)的单调性； (2) 当a＝1，b>3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的2个零点是x1和x2 (x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)>eq \f(3,4)－ln2. 第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) 因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx. 从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2－2a＋1x＋1,x)＝eq \f(2ax－1x－1,x)，x>0. 当a≤0时，若x∈(0,1)，则f′(x)>0；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 当0＜a＜eq \f(1,2)时，由f′(x)>0得0＜x＜1或x>eq \f(1,2a)；由f′(x)＜0得1＜x＜eq \f(1,2a)，所以f(x)在区间(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减． 第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 当a＝eq \f(1,2)时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a>eq \f(1,2)时，由f′(x)>0得0＜x＜eq \f(1,2a)或x>1；由f′(x)＜0得eq \f(1,2a)＜x＜1，所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))和(1，＋∞)上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，1))上单调递减． 第*页 热点难点微专题十一　函数中的多元问题处理 专题综述 典型例题 　课后作业　 (2) 证法1: 因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f′(x)＝eq \f(2x2－bx＋1,x)(x>0)． 由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，由根与系数的关系可得x1x2＝eq