2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十五代数推理问题 (共3份打包)

热点难点微专题十五　代数推理问题 代数推理能力在数列压轴题中经常运用，也是考试说明和核心素养中的重要组成部分，要求较高，难度很大. 在2015—2017的高考试题中，数列都作为压轴题出现，其中2015年考察了等比数列证明的论证问题；2016、2018年考察了数列中不等关系的综合论证；2017年考察了数列中的代数推理问题．可见在近三年的高考试卷中，数列的代数推理论证是数列考察的热点和难点． 例1　已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3·2n－1，bn＝3n－2，{cn}的通项公式为cn＝an＋bn(n∈N*)，是否存在元素均为正整数的集合A＝{n1，n2，…，nk}(k≥4，k∈N*)，使得数列cn1，cn2，…，cnk为等差数列？请证明你的结论． 点评： 例2　在数列{an}，{bn}中，已知a1＝0，a2＝1，b1＝1，b2＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn＋Sn＋1＝n2,2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，其中n为正整数． (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 问是否存在正整数m，n，使>1＋bm＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足① |a1|≠|a2|；② r(n－p)Sn＋1＝(n2＋n)an＋(n2－n－2)a1，其中r，p∈R，且r≠0. (1) 求p的值； (2) 数列{an}能否是等比数列？请说明理由． 2. 已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立． (1) 若An＝n2，b1＝2，求Bn； (2) 若对任意n∈N*，都有an＝Bn及＋＋＋…＋＜成立，求正实数b1的取值范围； (3) 若a1＝2，bn＝2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1＜s＜t)，使，，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由． $$第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十五　代数推理问题 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 代数推理能力在数列压轴题中经常运用，也是考试说明和核心素养中的重要组成部分，要求较高，难度很大. 在2015—2017的高考试题中，数列都作为压轴题出现，其中2015年考察了等比数列证明的论证问题；2016、2018年考察了数列中不等关系的综合论证；2017年考察了数列中的代数推理问题．可见在近三年的高考试卷中，数列的代数推理论证是数列考察的热点和难点． 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3·2n－1，bn＝3n－2，{cn}的通项公式为cn＝an＋bn(n∈N*)，是否存在元素均为正整数的集合A＝{n1，n2，…，nk}(k≥4，k∈N*)，使得数列cn1，cn2，…，cnk为等差数列？请证明你的结论． 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：方法一：假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈(l<m<p<r)，且cl，cm，cp，cr成等差数列，则2cm＝cp＋cl. 因为cl>0，所以2cm>cp. (*) ★若p>m＋1时，则p≥m＋2，结合(*)可知， 2[3·2m－1＋(3m－2)]>3·2p－1＋(3p－2)≥3·2m＋1＋(3m＋4)， 化简可得，2m－m<－eq \f(8,3)<0，与m≥2且m∈N*矛盾． 所以p＝m＋1. 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 ★同理可得r＝p＋1，所以cm，cp，cr为数列的连续三项，因为an＝3·2n－1，bn＝3n－2，{cn}的通项公式为cn＝an＋bn，(c∈N*)，则等比数列{an}中连续三项成等差数列，易知{an}为常数列，则与题意矛盾．故不存在满足题意的集合A. 方法二：由题意，cn＝3·2n－1＋(3n－2)． 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 第*页 热点难点微专题十五　代数推理问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 构造函数f(x)＝2x－1－x＋4(x≥3，x∈N*)， 则f(x＋1)－f(x)＝2x－1－1>0恒成立， 所以f(x)≥f(3)＝5>0， 则2n3－1－n3＋4>0，与(*)式矛盾， 故不存在满足题意的集合A. 第