2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十四新定义数列问题 (共3份打包)

热点难点微专题十四　新定义数列问题 数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度． 例1　设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”． (1) 若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式； (2) 是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； 点评： 例2　对于数列{an}，定义：bn(k)＝an＋an＋k，其中n，k∈N*. (1) 若bn(2)－bn(1)＝1，n∈N*，求bn(4)－bn(1)的值； (2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有bn＋1(k)＝2bn(k)． ① 求数列{an}的通项公式； ② 设k为给定的正整数，记集合A＝{bn(k)|n∈N*}，B＝{5bn(k＋2)|n∈N*}, 求证：A∩B＝∅. 点评： 【思维变式题组训练】 1. 若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数． (1) 已知an＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3； (2) 已知an＝2n，且f(m)＝m，求{bm}的前m项和Sm； 2. 若存在常数k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝ 则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫作段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”． (1) 若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3，q,3. ① 当q＝0时，求b2 016； ② 当q＝1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式S3n≤λ·3n－1对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围； (2) 设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由． $$第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十四　新定义数列问题 第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度． 第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”． (1) 若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式； (2) 是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； 第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) 数列{an}为“P(1)数列”，则Sn＝an＋1－1. 故Sn＋1＝an＋2－1，两式相减得：an＋2＝2an＋1，又n＝1时，a1＝a2－1，所以a2＝2， 故an＋1＝2an对任意的n∈N*恒成立，即eq \f(an＋1,an)＝2(常数)，故数列{an}为等比数列，其通项公式为an＝2n－1，n∈N*. 第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (2) 假设存在这样的数列{an}，则有Sn＝an＋k－k，故有Sn＋1＝an＋k＋1－k. 两式相减得：an＋1＝an＋k＋1－an＋k，故有an＋3＝an＋k＋3－an＋k＋2. 同理{an}是“P(k＋2)数列”可得：an＋1＝an＋k＋3－an＋k＋2， 所以an＋1＝an＋3对任意n∈N*恒成立． 所以Sn＝an＋k－k＝an＋k＋2－k＝Sn＋2，即Sn＝Sn＋2，又Sn＝an＋k＋2－k－2＝Sn＋2－2，即Sn＋2－Sn＝2，两者矛盾，故不存在这样的数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”． 第*页 热点难点微专题十四　新定义数列问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 例2　对于数列{an}，定义：bn(k)＝an＋an＋k，其中n，k∈N*. (1) 若bn(2)－bn(1)＝1，n∈N*，求bn(4)－bn(1)的值； (2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有bn＋1(k)