2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十三数列的恒成立问题 (共3份打包)

热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 恒成立问题是近几年高考中的热点问题，而且在近几年的高考中，几乎都以压轴题的模式出现．综合考察等差(比)数列的基本性质、代数推理论证的能力和方程思想的运用． 例　已知n∈N*，数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，设bn＝a2n－1＋a2n. (1) 若数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n； (2) 若对任意n∈N*，Sn＝恒成立，求数列{an}的通项公式； (3) 若S2n＝3(2n－1)，数列{anan＋1}也为等比数列，求数列{an}的通项公式． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22an. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn＝(An2＋Bn＋C)2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an＝bn＋1－bn成立，请说明你的理由． 2. 已知数列{an}中，a1＝1，在a1，a2之间插入1个数，在a2，a3之间插入2个数，在a3，a4之间插入3个数，…，在an，an＋1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{an}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{bn}． (1) 若a4＝19，求{bn}的通项公式； (2) 设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足＝bn＋μ(λ，μ为常数)，求{bn}的通项公式． $$第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 恒成立问题是近几年高考中的热点问题，而且在近几年的高考中，几乎都以压轴题的模式出现．综合考察等差(比)数列的基本性质、代数推理论证的能力和方程思想的运用． 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例　已知n∈N*，数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，设bn＝a2n－1＋a2n. (1) 若数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n； (2) 若对任意n∈N*，Sn＝eq \f(a\o\al(2,n)＋n,2)恒成立，求数列{an}的通项公式； (3) 若S2n＝3(2n－1)，数列{anan＋1}也为等比数列，求数列{an}的通项公式． 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) b1＝a1＋a2＝1＋2＝3， S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(31－3n,1－3)＝eq \f(33n－1,2). 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (2) 当n≥2时，由2Sn＝aeq \o\al(2,n)＋n，得2Sn－1＝aeq \o\al(2,n－1)＋n－1， 则2an＝2Sn－2Sn－1＝aeq \o\al(2,n)＋n－(aeq \o\al(2,n－1)＋n－1)＝aeq \o\al(2,n)－aeq \o\al(2,n－1)＋1，(an－1)2－aeq \o\al(2,n－1)＝0，(an－an－1－1)(an＋an－1－1)＝0， 故an－an－1＝1或an＋an－1＝1.　(*) 下面证明an＋an－1＝1对任意的n∈N*恒不成立． 事实上，a1＋a2＝3，则an＋an－1＝1不恒成立； 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 若存在n∈N*，使an＋an－1＝1，设n0是满足上式最小的正整数，即an0＋an0－1＝1，显然n0>2，且an0－1∈(0,1)，则an0－1＋an0－2≠1，则由(*)式知，an0－1－an0－2＝1，则an0－2＜0，矛盾．故an＋an－1＝1对任意的n∈N*恒不成立． 所以an－an－1＝1对任意的n∈N*恒成立． 因此{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝1＋(n－1)＝n. 第*页 热点难点微专题十三　数列的恒成立问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (3) 因为数列{anan＋1}为等比数列，设公比为q，则当n≥2 时，eq \f(anan＋1,an－1an)＝eq \f(an＋1,an－1)＝q. 即{a2n－1}，{a2n}分别是以1,2为首项，公比为q的等比数列， 故a3＝q，a4＝2q. 令n＝2，有S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋2＋q＋2q＝9，则q＝2. 当q＝2时，a2n－1＝2n－1，a2n＝2×2n－1＝2n，b