2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十二数列中的存在性问题 (共3份打包)

热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 高考中数列解答题都考察了数列中一类存在性问题，此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想，在近年省内各市模拟卷中常有出现． 例1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1) 求数列{an}的通项公式及前n项和公式； (2) 设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 点评： 例2　已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn＝. (1) 求a1； (2) 证明：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； (3) 设lgbn＝，试问：是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由． 点评： 例3　已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a5＝a2＋a3. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值； (3) 是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＋1＝Sn＋λ(n∈N*，λ为常数)，a1＝2，a2＝1. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求所有满足等式＝成立的正整数m，n. 2. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝3，anbn＝2，bn＋1＝an，n∈N*. (1) 求证：数列是等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (2) 设数列{cn}满足cn＝2an－5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r(p<q<r)，使得，，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，请说明理由． $$第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 高考中数列解答题都考察了数列中一类存在性问题，此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想，在近年省内各市模拟卷中常有出现． 第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1) 求数列{an}的通项公式及前n项和公式； (2) 设数列{bn}的通项公式为bn＝eq \f(an,an＋t)，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) an＝2n－1，Sn＝n2. (2) bn＝eq \f(2n－1,2n－1＋t)，要使得b1，b2，bm成等差数列，则2b2＝b1＋bm， 即2eq \f(3,3＋t)＝eq \f(1,1＋t)＋eq \f(2m－1,2m－1＋t)，即m＝3＋eq \f(4,t－1). 因为m，t∈N*，所以t只能取2,3,5. 当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4. 点评：“存在”则等价于不定方程有满足条件的正整数解，本例利用整除性质解决． 第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 例2　已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(nan－a1,2). (1) 求a1； (2) 证明：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； (3) 设lgbn＝eq \f(an＋1,3n)，试问：是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由． 第*页 热点难点微专题十二　数列中的存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) 令n＝1，则a1＝S1＝eq \f(1a1－a1,2)＝0. (2) 由Sn＝eq \f(nan－a1,2)，即Sn＝eq \f(nan,2)，　① 得Sn＋1＝eq \f(n＋1an＋1,2).　② ②－①，得(n－1)an＋1＝nan.　③ 于是n