2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题九用零点存在理论研究函数的零点问题 (共3份打包)

热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 在用导数处理函数的单调性等问题时，常需要求导函数的零点，但有时会碰到导函数的零点很难求的困境，需要用零点存在理论研究，尤其是这类问题中对零点所在区间的研究难度较大． 例1　设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有1个零点． 点评： 例2　若a>e，求证：函数f(x)＝alnx＋在(0,1)上有2个零点． 点评： 例3　已知函数f(x)＝a(x－1)(ex－a)(常数a∈R且a≠0)． (1) 求证：当a>0时， 函数f(x)有且只有1个极值点； (2) 若函数f(x)存在2个极值点x1，x2，求证：0<f(x1)<且0<f(x2)<. 点评： 【思维变式题组训练】 1. 求证：当a>0时，函数f(x)＝e2x－alnx的导函数有唯一零点． 2. 求证：当a>0时，函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有2个零点． 3. 已知函数f(x)＝ex(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R. (1) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围； (2) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<g(x0)，求a的取值范围． $$第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 在用导数处理函数的单调性等问题时，常需要求导函数的零点，但有时会碰到导函数的零点很难求的困境，需要用零点存在理论研究，尤其是这类问题中对零点所在区间的研究难度较大． 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有1个零点． 证明： 因为f′(x)＝(x＋1)2ex≥0，所以f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)，且f(0)＝1－a＜0，又f(lna)＝a(lna)2>0，所以存在x0∈(0, lna)，使得f(x)＝0，结合f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增知，f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点． 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 证明： f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(1,x2)＝eq \f(ax－1,x2)，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递减，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递增，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝a(1－lna)<0，f(1)＝1>0，取feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)))＝a(a－2lna)，设g(x)＝x－2lnx，g′(x)＝1－eq \f(2,x)，g(x)在(e，＋∞)上单调递增，且g(e)＝e－2>0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)))>0. 例2　若a>e，求证：函数f(x)＝alnx＋eq \f(1,x)在(0,1)上有2个零点． 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 例3　已知函数f(x)＝a(x－1)(ex－a)(常数a∈R且a≠0)． (1) 求证：当a>0时， 函数f(x)有且只有1个极值点； (2) 若函数f(x)存在2个极值点x1，x2，求证：0<f(x1)<eq \f(4,e2)且0<f(x2)<eq \f(4,e2). 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析： (1) f′(x)＝a(xex－a)，a>0. ① 当x≤0时，f′(x)<0，f (x)在(－∞，0]上无极值点． ② 当x>0时， f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝－a2<0，f′(a)＝ a2(ea－1)>0. 所以f′(x)在(0，＋∞)上有且只有1个零点，设其为x0. 当x∈(0, x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 所以x0是f (x)的极小值点． 综上，当a>0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)内有且只有1个极值点． 第*页 热点难点微专题九　用零点存在理论研究函数的零点问题 专题综述