2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题二平面向量中的最值问题 (共3份打包)

热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有① 坐标化；② 基底化；③ 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意义求解． 例1　(1) 如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则·的取值范围为________． (2) 已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对于一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________． (3) 如图，直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 如图，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则·的最大值是________． 2. 如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3.点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________． 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴、y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是________． 4. 在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若＝λ＋μ，则＋的最小值为________． $$第*页 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 第*页 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有① 坐标化；② 基底化；③ 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意义求解． 第*页 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　(1) 如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则eq \o(OP,\s\up15(→))·eq \o(OQ,\s\up15(→))的取值范围为________． 第*页 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 [eq \r(2)－1,1] 解析：思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解． 解法1 (坐标法)：以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(1,0)，B(0,1)，则直线AB：x＋y－1＝0，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设P(cosθ，sinθ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，设点P关于直线AB的对称点Q(x1，y1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x1＋cosθ,2)＋\f(y1＋sinθ,2)－1＝0，,\f(y1－sinθ,x1－cosθ)×－1＝－1，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝1－sinθ，,y1＝1－cosθ，))即Q(1－sinθ，1－cosθ)． 第*页 热点难点微专题二　平面向量中的最值问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 所以eq \o(OP,\s\up15(→))·eq \o(OQ,\s\up15(→))＝cosθ(1－sinθ)＋sinθ(1－cosθ)＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθ. 令t＝sinθ＋cosθ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\r(2)))，且2sinθcosθ＝t2－1. 故eq \o(OP,\s\up15(→))·eq \o(OQ,\s\up15(→))＝f(t)＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，所以eq \o(OP,\s\up15(→))·eq \o(OQ,\s\up15(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，1))