专题12 不等式选讲-2020年高考数学（文）二轮专项复习

专题12 不等式选讲 不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破. 【知识要点】 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 4．柯西不等式 (1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 【复习要求】 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ① ② （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： （3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值 （4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 【例题分析】 例1　(1)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. ①解不等式f(x)＞2； ②求函数y＝f(x)的最小值． [解]　①解