专题08 函数的基本性质（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题八 函数的基本性质 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 函数的基本性质 函数的单调性 单调性相对于区间而言 利用单调性解不等式 函数的定义域 函数的奇偶性 定义域关于原点对称 奇偶性、单调性的综合运用 单调性的不同 二.学法指导 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象． 2. 利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. 2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子. 3定号：确定fx1－fx2的符号. 4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性. 3．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 4.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： 5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解. 6.利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx. 7、解有关奇函数fx的不等式fa＋fb<0，先将fa＋fb<0变形为fa<－fb＝f－b，再利用fx的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质fx＝f|x|＝f－|x|将fgx中的gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解. 三.知识点贯通 知识点1 函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 例1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 知识点二 函数单调性的判断与证明 1.增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 例题2：试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 知识点三 函数单调性应用 1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2. ∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2. 例题3 .　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________． (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． 知识点四 利用函数的单调性求最值(值域) 1.函数最大值与最小值的定义 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 例题4．已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值． 知识点五 函数奇偶性的判断 1.函数的奇偶性的定义 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 例题5.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (