2019年12月26日 数列中的探索性问题-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（理）人教版（必修5+选修2-1）

12月26日 数列中的探索性问题 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★★☆ 已知定义域为的函数满足，且． （1）当时，求的表达式； （2）设，，求证：； （3）设，，为的前项和，当最大时，求的值． 【参考答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或． 【试题解析】（1）令，可得，所以， 所以，所以． （2）由（1）知，设， 则 ①， ②， ①−②可得， 所以， 因为，所以， 即． （3）由（1）可得，所以数列是首项为4，公差为的等差数列， 所以当时，； 当时，； 当时，． 故或时，取得最大值． 【名师点睛】（1）数列可看做是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．例如要研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现．但要注意到数列与函数的不同，数列只能看做是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性． （2）数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有3种： ①判断数列问题中的一些不等关系； ②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； ③考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断． （3）本题在解答中主要涉及抽象函数性质的应用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键． 1．已知数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 2．已知等比数列满足:，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数m，使得++...+≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由. 1．【解析】因为①， 所以当时，，得. 当时，②， ①-②得，， 即， ， 符合上式. 故. （2）， . 2．【解析】（1）设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 则①, 则a1a2a3②, 解①②得：q＝3, 从而． ∴数列{an}的通项公式． （2）假设存在正整数m,使得1． ∵, ∴, 从而数列{}是首项为,公比为的等比数列, 从而得1, 解得，显然不成立,