专题08 圆锥曲线中的“定”问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题八 圆锥曲线中的“定”问题 专题八 圆锥曲线中的“定”问题 近些年，关于圆锥曲线的命题，不管是高考真题还是高考模拟题，都不约而同地大量涌现出一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，考生遇见这样的问题都因不得要领，从而内心感到惧怕，但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果，更增添了它的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题，相信在今年或往后的高考中会成为一种趋势． 模块1 整理方法 提升能力 圆锥曲线中的“定”问题常有以下 类题型： 题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）． 题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点． 定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是把直线或曲线方程中的变量 、 当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 、 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程． 例1 椭圆有两顶点 、 ，过其焦点 的斜 率为 的直线 与椭圆交于 、 两点，并与 轴交于点 ， 直线 与直线 交于点 ． （1）当 时，求直线 的方程； （2）当点 异于 、 两点时，求证： 为定值． 【解析】（1）由已知可得椭圆方程为 ，设 的方程为 ，则由 ，消去 可得 ．设 ， ，则 ，解得 ，所以 ，所以直线方程为 ． 【证明】（2）设 的方程为 （ 且 ），则点 的坐标为 ．直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立两条直线方程，可得点 的横坐标为 ，由（1）可知 ， ，代入上式，可得 ．于是 ． 【点评】从直线的斜率和点这两个角度，