专题十：直角三角形的存在性问题探究-2020中考数学专题突破

专题十：直角三角形的存在性问题探究 ( 专题导入 ) 引例．如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y＝－x＋b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为 ． ( 方法点睛 ) 是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点． 解决方法如下 方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题； 方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理； 方法三：可利用直径所对的圆周角为90°来处理． 导例解析：分三种情况讨论：①当∠ABD＝90°时，如图1，b＝；②当∠ADB＝90°时，如图2，b＝；③当∠DAB＝90°时，如图3，b＝2 ( 典例精讲 ) 类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题 例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B. (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 第2题图 【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c的方程组，解方程组可得答案； （2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案． 类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题 例2.如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC. (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0时，求出y轴交点坐标； （2）先求出点P的坐标，再分两种情况计算：当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可；当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算． ( 专题过关 ) 1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值； (3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 2.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上； (3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式； (2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； (3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 4．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE. ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）． （1）试写出b，c之间的关系式； （2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1． ①求△ODE与△OEF的面积比；