2019年12月26日 数列中的探索性问题-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（必修5+选修1-1）

12月26日 数列中的探索性问题 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★★☆ 在数列和中，已知，且，，数列为等比数列． （1）求的值及数列的通项公式； （2）令，是否存在正整数，，使，，成等差数列？若存在，请求出，的值；若不存在，说明理由． 【参考答案】（1），；（2）存在正整数，，使，，成等差数列． 【试题解析】（1）由可得， 设等比数列的公比为，则，解得或， 因为，所以，所以， 所以 ． （2）由（1）可得， 假设存在正整数，，使，，成等差数列， 则，即， 所以，故，由，可得， 因为，为正整数且，所以，， 所以存在正整数，，使，，成等差数列． 【解题必备】对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；若推理不出矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果． 1．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，满足，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）令，是否存在正整数，使不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 2．在数列中，已知，且点在直线上，． （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列，的前项和分别为，，是否存在实数使得数列为等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 1．【答案】（1），；（2）存在，最小的正整数． 【解析】（1）设数列的公差为d， 由已知得，即， 由化简得 ①， 由得 ②， 联立①②解得， 所以，． （2）， 所以． 由n是正整数，可得； 故存在最小的正整数，使不等式恒成立． 2．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，． 【解析】（1）因为点在直线上，所以， 所以， ， 故，． 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得， ． 由及可得， 所以， ． 令， 若数列为等差数列，则为常数， 易得， ， ， 则，解得， 此时， 因为，所以数列为等差数列， 故存在实数使得数列为等差数列． 1 $$