专题2.1 平面向量的实际背景及基本概念重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.1平面向量的实际背景及基本概念重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 向量的概念】 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【知识点2 向量的表示法】 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如等. (2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【知识点3 向量的有关概念】 1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3．单位向量:长度等于1个单位的向量. 注： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量:长度相等且方向相同的向量. 注： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【知识点3 向量的共线或平行】 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： 1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【考点1 向量的基本概念】 【例1】（2019秋•高阳县校级月考）给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列说法不正确的是　　 ①若，则；②两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③平面直角坐标系中的轴和轴都是向量；④若，则，，，四点是平行四边形的四个顶点；⑤在中，一定有． A．①④ B．②④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【变式1-2】（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论： （1）若，则或； （2）向量与平行，则与的方向相同或相反； （3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； （4）若向量与同向，且，则． 其中正确的序号为　　 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【变式1-3】（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是　　 ①单位向量都相等； ②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若，满足且与同向，则； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点2 向量的表示与向量的模】 【例2】某人从点出发向西走了，到达点，然后改变方向按西偏北走了到达点，最后又向东走了10米到达点． （1）作出向量，，（用长的线段代表长） （2）求． 【变式2-1】某人从点出发向东走了5米到达点，然后改变方向按东北方向走了米到达点，到达点后又改变方向向西走了10米到达点． （1）作出向量，，． （2）求的模． 【变式2-2】海面上有4只搜救船，甲船位于点，乙船在甲船的正西方200海里的处，丙船在乙船的北偏西相距乙船100海里的处，丁船位于丙船的正东200海里的处． （1）作出向量、、； （2）求． 【变式2-3】如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点、．点为小正方形的顶点，且． （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 【考点3 相等向量与共线向量】 【例3】如图所示．是正六边形的中心，且，，． （1）与的模相等的向量有多少个？ （2）与的长度相等．方向相反的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （