专题2.2.1-2 向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.2.1-2向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则】 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 【知识点2 向量求和的多边形法则及加法运算律】 1.向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2．向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【知识点3 向量的减法】 1．向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2．向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【考点1 向量的加减法运算】 【例1】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-2】化简下列各式： （1）； （2）． 【变式1-3】化简： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）． 【考点2 利用向量的加减法法则作图】 【例2】对下图中各组向量、，求作． 【变式2-1】对图中各组向量、，求作 【变式2-2】根据已知向量、，求作、． 【变式2-3】已知 （1）（2）（3） （1）求作：十；（2）求作：十； （3）求作：十十． 【考点3 用已知向量表示相关向量】 【例3】（2019春•东城区期末）如图，向量，，，则向量可以表示为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，在四边形中，，对角线与交于点，设，，用和表示和． 【变式3-2】如图所示，已知，，，，，试用，，，，表示下列向量． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式3-3】向量，，，，如图所示，解答下列各题： （1）用，，表示； （2）用，表示； （3）用，，表示； （4）用，表示． 【考点4 向量的加减法的几何意义】 【例4】（2019春•水富县校级期中）已知是四边形所在平面上任一点，则四边形一定为　　 A．菱形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．矩形 【变式4-1】（2019秋•沧州期末）为四边形所在平面内任意一点，若，则四边形为　　 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式4-2】（2019•海淀区一模）在上，点满足，则　　 A．点不在直线上 B．点在的延长线上 C．点在线段上 D．点在的延长线上 【变式4-3】（2019秋•昌平区期末）在平行四边形中，若，则平行四边形是　　 A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形 【考点5 利用向量的加减法证明几何问题】 【例5】，是三角形边上两点，且，求证：． 【变式5-1】（2019•广东模拟）如右图，已知点、、分别是三边、、的中点，求证：． 【变式5-2】是平行四边形外一点，求证：． 【变式5-3】点，，分别是三边，，的中点，求证： （1）． （2）． 【考点6 用向量解决实际问题】 【例6】在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向． 【变式6-1】已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以的速度向东流，现有一艘工作艇，在诲面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是，若艇要沿着与桥平行的方问由南向北航行，则艇的航向如何确定？ 【变式6-2】一艘轮船从码头出发驶向河对岸，已知轮船的速度为，河水的流速为，轮船的实际航行路线与对岸的岸边垂直． （1）试用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度； （2）求轮船航行的实际速度的大小（精确到0