专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.2.3向量数乘运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 向量数乘的定义】 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： (1)； (2)①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，. 【知识点2 向量数乘的几何意义】 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到． （1） 当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到； （2） 当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到； （3） 当时，=；当时，=-，与互为相反向量； （4） 当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 【知识点3 向量数乘的运算律】 设为实数 结合律：； 分配律：， 【知识点4 向量共线的条件】 1．向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3．向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 注： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【考点1 向量的线性运算】 【例1】化简： （1）； （2）； （3）． 【变式1-1】（2019春•灌云县校级月考）计算下列各式： （1）； （2）； （3）． 【变式1-2】（2019春•承德校级月考）计算： （1）； （2） （3） （4）． 【变式1-3】化简： （1） （2） （3） （4） 【考点2 利用向量数乘运算率作图】 【例2】如图，已知向量与，求作向量． 【变式2-1】已知如图所示向量、、，求作向量，使得，并将向量用向量、、线性表示． 【变式2-2】已知向量如图所示，求作：，． 【变式2-3】在平面上任画一向量，求作下列向量： （1），； （2），； （3）． 【考点3 用已知向量表示相关向量】 【例3】（2019春•静宁县校级期末）在中，，，，为的中点，则　　（用表示） A． B． C． D． 【变式3-1】（2018秋•钦州期末）在平行四边形中，，，与的相交于点，点在上，且，则向量等于　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2019春•五华区校级月考）已知在中，，分别是边．上的点，且，，与相交于点，记，，用，表示的结果是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2019秋•咸宁期中）如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于　　 A． B． C． D． 【考点4 利用三点共线判定定理求参数】 【例4】（2019秋•昌江区校级月考）如图，在中，，，，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2019春•金水区校级期中）已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，，，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（2019春•湖北期中）如图，在中，，，，，，则　　 A．3 B．4 C． D． 【变式4-3】（2019秋•马鞍山期末）已知为的中线，，与的交点为，设，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点5 用方程思想解决向量问题】 【例5】已知，，，都是向量，且，，试用，分别表示，． 【变式5-1】若，，其中，是已知向量，求，． 【变式5-2】已知向量，，求满足方程组的向量，． 【变式5-3】（2019春•平邑县校级期末）设，是不共线的两个向量，，若实数，满足，求，的值． 【考点6 三点共线问题】 【例6】（2018春•邢台期中）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． （1）试用，表示，，； （2）证明：，，三点共线． 【变式6-1】（2019秋•张家口月考）已知两个非零向量与不共线，，，． （1）若，求的值； （2）若，，三点共线，求的值． 【变式6-2】设为内任一点，且满足． （1）若，分别是，的中点，求证：，，共线； （2）求与的面积之比． 【变式6-3】已知，在上取一点，使，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，在的延长线上取一点，使，试用向量的方法证明、、三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题2.2.3向量数乘运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 向量数乘的定义】 实数与向量