11.1.2三角形的高、中线与角平分线-2019-2020学年八年级上册初二数学【英才学堂】（人教版）

""#"#$!三角形的高!中线与角平分线 !!! !!!!!! !!! !!!! "!三角形的高!从三角形的一个顶点向它的对边画垂 线&顶点和垂足间的线段叫做三角形的高! 注!#"$三角形的高是线段%而垂线是直线" #$$任意三角形都有三条高" #%$锐角三角形的三条高交于三角形内部一点%直 角三角形三条高交于直角顶点%钝角三角形三条高 交于三角形外部一点! $!三角形的中线!连接三角形的顶点和它所对的边的 中点&所得的线段叫做三角形的中线! 注!#"$三角形的中线是一条线段" #$$任意三角形有三条中线%并且都在三角形的内 部%相交于一点!三角形三条中线的交点叫做三角 形的重心" #%$如果'+是 ! '()的中线%那么 / ! '(+ 5/ ! ')+ ! %!三角形的角平分线!三角形一个内角的平分线和对 边相交&这个内角的顶点和交点之间的线段叫做三 角形的角平分线! 注!#"$三角形的角平分线是一条线段%而角的平分 线是一条射线%二者不能混淆" #$$任意三角形有三条角平分线%并且都在三角形 内部%相交于一点! "!#$3"2 贵阳$如图&在 ! '()中有四条线段+0"(0" !第 "题图 01"12&其中有一条线段是 ! '() 的中线&则该线段是 # / $ +#线段+0 /#线段(0 1#线段01 *#线段12 $!如图&在 ! '()中&作出 ')边上的高&正确的作法 是 # * $ %!如图&)+")0")1分别是 ! '()的高"角平分线"中 线&则下列各式中错误的是 # 1 $ !第 % 题图 +#'(5$(1 /# " ')05 " $ " ')( 1#'05(0 *#)+ & (0 &!如图&在 ! '()中& " " 5 " $&2是'+的中点&连接 (2并延长交 ')于点 0&)1 & '+于点 3并交 '( 于点1!下列说法! ! '+是 ! '(0的角平分线% " (0是 ! '(+的边'+上的中线% # )3是 ! ')2" ! ')3" ! ')+的高% $ '3是 ! ')1的角平分线和高% % )2是 ! ')+的中线! 其中正确的有 # 1 $ +#" 个 /#$ 个 1#% 个 *#& 个 !!! !!!!第 & 题图!!!!!!!!!第 . 题图 .!如图& " ('+5&.4&'05&,-! #"$ 若 '+是 ! '()的角平分线&则 " +')5 !&.4! % #$$若 '05)0&则线段!(0! 是 ! '()的中线& ')的长为!2,-! % #%$若'1是 ! '()的高&则图中以 '1为高的三角 形有!4!个! 4!如图&'+是 ! '()的角平分线&)0是它的中线&则 相等的线段是!'05(0!&相等的角是 !% 若 " (')5.&4&则 " )'+的度数为!$04! ! !!!! !!!!!第 4 题图!!!!!! !第 0 题图 0!如图&'+是 ! '()的中线&已知 ! '(+的周长为 $.,-& '(比')长.,-&则 ! ')+的周长为!$3!,- $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! % 2!已知'+是 ! '()的高& " ('+5034& " )'+5$34& 则 " (')5 !634或 .34! ! 6!如图&已知 ! '()! #"$作出 ! '()的角平分线'+% #$$过点+作 ! '(+的高+0和 ! ')+的高+1% #%$量出+0"+1的长度&你有怎样的发现* 用语言 表达出来! 第 6 题图 解"#"$ ! '()的角平分线'+如图所示! #$$ ! '(+的高+0% ! ')+的高+1如图所示! #%$+05+1! 结论"角平分线上的点到这个角两边的距离相等! "3!等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 $&,-和 %3,-两部分&求这个等腰三角形的腰和 底边的长! 解"设该等腰三角形的腰长为 $,-%底边的长为 5,-%根据题意%得 $) " $ $5$&% 5) " $ $ { 5%3 或 $) " $ $5%3% 5) " $ $5$& { % 解得 $5"4% 5 { 5$$ 或 $5$3% 55"& { ! 经检验%这两个解都符合题意! 答"这个等腰三角形的腰长为 "4,-%底边长为 $$,-或腰长为 $3,-%底边长为 "&,-! ""!#"$如图&在 ! '()中&')52&()5&&高(+5%& '0是()边上的高&则'0的长为!4! % ! ! 第 ""题""#图! !第 "