专题04 变量间的相关关系与统计案例-2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 04 变量间的相关关系与统计案例 一、考点传真： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系； 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)； 3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 二、知识点梳理： 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为是在y轴上的截距. 是回归方程的斜率，.其中，－＝－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝＝__，则x＋＝ 回归直线一定过样本点的中心(). ， 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中()称为样本点的中心. ， (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. (4)相关指数：R2＝1－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. (yi－.其中 4.独立性检验 (1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量. 【注意点】 1.求解回归方程的关键是确定回归系数). ，，应充分利用回归直线过样本中心点(， 2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大. 3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. 三、例题： 例1.（2017山东）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A． B． C． D． 例2.（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（万元） 8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 支出（万元） 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元 例3.（2014重庆）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为 A． B． C． D． 例4.（2012新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ） A．−1 B．0 C． D．1 例5.（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数