专题06 坐标系-2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 06 坐标系 一、考点传真： 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 二、知识点梳理： 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立： 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos__θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin__θ (0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos__θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin__θ＝a (0<θ<π) 【注意点】 关于极坐标系 1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可. 2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性. 三、例题： 例1.（2019全国卷I）[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 例2．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的直角坐标方程； (2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 例3. (2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． (1)求和的直角坐标方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 例4．(2018江苏) [选修4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长． 例5．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数)． (1)若，求与的交点坐标； (2)若上的点到距离的最大值为，求． 例6.（2019天津卷）设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 . 例7．(2018北京卷)在极坐标系中，直线与圆相切，则=___． 例8.（2017天津）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_____． 四、巩固练习： 1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　) A.ρ＝，0≤θ≤ B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A. B. C.(1，0) D.(1，π) 3．在极坐标系中，A两点间的距离为________． ，B 4．在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________． 5．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2＝2. ρ·cos (1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的