湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考数学文试题（PDF版）

高三文科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16.1010 3、 解答题（本大题共6小题，共70分） 17.【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）∵ ， ∴ ，…………2分 由正弦定理得， ， ∴ ，…………4分 又 ，∴ ，∴ ，…………5分 又 ，∴ .…………6分 （2）设 外接圆的半径为 ，则 ， ，…………8分 由余弦定理得 ，…………9分 即 ， ，……………10分 的面积 。…………12分 18.【答案】（1） ；（2） 【解】（1）当 时， ；…………1分 当 时， .…………3分 也适合 ，因此，数列 的通项公式为 ；…………5分 （2） ，在等式两边同时除以 得 ，且 . 所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，…………6分 ，…………7分 .…………8分 ， ，…………9分 上式 下式得 EMBED Equation.DSMT4 ，…………11分 因此， 。…………12分 19.【解析】（1）在平面 内，因为 ， 所以 .…………1分 又 平面 ， 平面 ， 故 平面 。…………4分 （2）取 的中点 ，连接 ， . 由 ，及 ， ， 得四边形 为正方形，则 。…………5分 因为侧面 是等边三角形且垂直于底面 ， 平面 平面 ， 所以 ，…………6分 因为 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 .…………7分 设 ，则 ， ， ， ， . 因为四棱锥 的体积为 ， 所以 ，所以 ，…………9分 取 的中点 ，连接 ，则 ， 所以 .…………10分 因此 的面积 。…………12分 20.【解析】(1)由 ，消去 可得 ，……1分 设A（x1，y1）,B（x2，y2）,则y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，…………2分 ∴ ＝8，…4分 ·＝· 解得p＝2或p＝－4(舍去)，∴p＝2。…………5分 (2)证明：由(1)可得y2＝4x，设 ，…………6分 ∴直线OM的方程为y＝x。…………7分 当x＝－1时，yH＝－， ，则yN＝yH＝－ 代入抛物线方程y2＝4x，可得xN＝ ，，…………8分 ∴直线MN的斜率k＝，…………9分 ＝ 直线MN的方程为 ，整理可得 ………11分 故直线MN过定点(1,0)。…………12分 21.【解析】（1） ，则 ，…………1分 ， .…………2分 因此，函数 在点 处的切线方程为 ，即 ；…………4分 （2）当 时， ，此时， ，…………5分 所以，函数 在区间 上没有零点；…………6分 又 ，下面只需证明函数 在区间 上有且只有一个零点. ，构造函数 ，则 ， 当 时， ， 所以，函数 在区间 上单调递增，…………8分 ， ， 由零点存在定理知，存在 ，使得 ，…………9分 当 时， ，当 时， 。…………10分 所以，函数 在 处取得极小值，则 ， 又 ，所以 ，由零点存在定理可知，函数 在区间 上有且只有一个零点.…………11分 综上所述，函数 在区间 上有且仅有两个零点.…………12分 22.【解析】（1）圆C的普通方程为 ，又 ， 所以圆C的极坐标方程为 .…………4分 （2）设 ，则由 解得 ， ，得 ；…………7分 设 ，则由 解得 ， ，得 ；……9分 所以 。…………10分 23.【解析】（1）当 时， ，由 ，得 ， 解得 ，此时 ； 当 时， ，由 ，得 ， 解得 ，此时 ； 当 时， ，此时不等式 无解. 综上所述，不等式 的解集为 ；…………5分 （2）由（1）可知 . 当 时， ；当 时， ；当 时， . 所以，函数 的最大值为 ，则 . 由柯西不等式可得 ，即 ， 即 ，当且仅当 时，等号成立. 因此， 。…………10分 第20题 $$ 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 $$