专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导） 【题型解读】 题型特点 命题趋势 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题. 主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点. ▶▶题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式． (2)构造f(x)＝. (3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0. (1)求ω； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值． 【素养解读】 本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养． 【突破训练1】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． ▶▶题型二　解三角形 1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤 第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向． 第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果． 第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性． 【例2】 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B． (1)求A； (2)若a＝3，求b＋2c的最大值． 【素养解读】 试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝. (1)求b和sin A的值； (2)求sin的值． ▶▶题型三　三角函数与平面向量的综合 1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题． 2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)， b＝(cosx,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值． 【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC的面积为S，且·＝S，|－|＝3. (1)若f(x)＝2cos(ωx＋B)(ω＞0)的图象与直线y＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f＝1，求△ABC的面积S； (2)求S＋3 cosBcosC的最大值． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导） 【题型解读】 题