第三章 高考专题突破一 第1课时 导数与不等式（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大一轮复习讲义（江苏专用）份打包)

高考专题突破一　高考中的导数应用问题 第1课时　导数与不等式 题型一　证明不等式 例1 设函数f(x)＝ln x－x＋1.[来源:Zxxk.Com] (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<<x. (1)解　由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)证明　由(1)知，f(x)在x＝1处取得极大值也为最大值，最大值为f(1)＝0. 所以当x≠1时，ln x<x－1. 故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln<－1， 即1<<x. 思维升华 (1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性． (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)对x1<x2恒成立，即等价于函数h(x)＝f(x)＋g(x)为增函数． 跟踪训练1 已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：f(x)<sin x在(0，＋∞)上恒成立． (1)解　依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex， 又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x. (2)证明　依题意，要证f(x)<sin x， 即证xln x－ex＋1<sin x， 即证xln x<ex＋sin x－1.[来源:Zxxk.Com] 当0<x≤1时，ex＋sin x－1>0，xln x≤0， 故xln x<ex＋sin x－1，即f(x)<sin x. 当x>1时，令g(x)＝ex＋sin x－1－xln x， 故g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1. 令h(x)＝g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1， 则h′(x)＝ex－－sin x， 当x>1时，ex－>e－1>1， 所以h′(x)＝ex－－sin x>0， 故h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故h(x)>h(1)＝e＋cos 1－1>0，即g′(x)>0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)>g(1)＝e＋sin 1－1>0， 即xln x<ex＋sin x－1，即f(x)<sin x. 综上所述，f(x)<sin x在(0，＋∞)上恒成立． 题型二　不等式恒成立或有解问题 例2 已知函数f(x)＝. (1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围； (2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围． 解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＝－， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点， 所以0<a<1<a＋， 故<a<1，即实数a的取值范围为. (2)当x≥1时，k≤恒成立， 令g(x)＝(x≥1)， 则g′(x)＝＝. 再令h(x)＝x－ln x(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0， 所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0， 所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]． 引申探究 本例(2)中若改为：∃x∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围． 解　当x∈[1，e]时，k≤有解， 令g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知， g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋， 所以k≤2＋，即实数k的取值范围是. 思维升华 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围． (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围． 解　∵f(x)≤0，即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立， ∴a≤－，x∈[1，e]． 令g(x)＝－，x∈[1，e]， 则g′(x)＝， ∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0， ∴g(x)在[1，e]上单调递减， ∴g(x)min＝g(e)＝－， ∴a≤－. ∴实数a的取值范围是. 1．已知函数f(x)＝ln x＋x，g(x)＝x·ex－1，求证：f(x)≤g(