专题二：平行四边形存在性问题探究-2020中考数学专题突破

专题二：平行四边形存在性问题探究 ( 专题导入 )[来源:学科网] 导例： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 图1 说明：我们知道不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种，如图2，以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C． 图2 ( 图 3 ) ( 图 3 ) ( 图 3 ) ( 方法点睛 ) 方法指引：解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步：寻找分类标准； 第二步：画图； 第三步：计算． 知识储备：[来源:Z|xx|k.Com] 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)， 则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD． 证明： 如图3，连接AC，BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(，)．又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(，)． ∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 【导例答案】P，A，C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图4）．D1(2, 7)，D2(－4, 1)，D3(－2, －1)． 图3 ( 典例精讲 ) 类型一：已知三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题 例1 如图4，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N． (1)直接写出点A，C，N的坐标． (2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图4 分析 :(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数解析式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数解析式便可求得点N的坐标． (2)根据能导例的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数解析式验证得符合条件的点P． 类型二：　已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形 例2 如图5，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求点D的坐标． (3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 图5 分析 ：(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数解析式． (2)设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数解析式，与____________联立即可求出点D的坐标． (3)存在，分两种情况考虑： ①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________； ②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况． ( 专题过关 ) 1．如图7，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求点D的坐标； （3）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 图7 2． 如图8，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB． (1)求抛物线的解析式． (2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标． (3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以