专题三：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究-2020中考数学专题突破

专题三：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究 ( 专题导入 ) 导图：我们知道平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系如下图： 导例：如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. 图1 （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空： ①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形. ( 方法点睛 ) 解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．注意结合矩形和菱形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知识的运用. 导例答案：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴NC∥AB.∴∠DNE=∠AME. ∵E为AD的中点，∴DE=AE.又∵∠NED=∠MEA，  ∴△NDE≌△MAE.∴ND=AM.  ∵ND∥AM， ∴四边形AMDN为平行四边形. （2）①当四边形AMDN为矩形时，则DM⊥AB. ∵∠DAB=60°， ∴△DAB为正三角形. ∴点M为AB的中点. ∴AM=1； ②当四边形AMDN为菱形时，则AM=AD=2． ( 典例精讲 ) 类型一：菱形的存在性问题 例1 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C. (1)求抛物线的解析式； (2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值； (3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式，利用待定系数法可求得解析式； (2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得； (3)设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况． 类型二：矩形的存在性问题 例2 如图3，抛物线与轴交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线解析式： （2）抛物线对称轴上存在一点H，连接，当值最大时，求点H坐标： （3）若点M是平分线上的一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标 图3 【分析】(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出a，b的值即可得答案； （2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H，由A，C两点坐标可得直线AC的解析式，根据抛物线解析式可得对称轴方程，根据A，C，H三点在一条直线时，的值最大，即可得答案； （3）设∠BAC的角平分线与y轴交于E点，过点E作EF⊥AC，根据角平分线的性质可证明△AFE≌△AOE，可得出AF的长，利用勾股定理可求出OE的长，可得E点坐标，进而利用待定系数法可求出直线AE的解析式，分两种情况：①当∠ABM1=90°时，M1N1=AB，AN1=BM，M1B⊥x轴，可得点M1的横坐标，代入AE的解析式可得点M1的纵坐标，即可得出BM的长，进而可得N1点坐标；②当∠AM2B=90°时，可知∠N2BA=∠BAE，过N2作N2G⊥x轴，根据点E坐标可得∠BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的长，利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的长，进而可得OG的长，即可得N2坐标；综上即可得答案. ( 专题过关 ) 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线(b＞0)的“抛物线三角形”是等 腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线(b′＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的解析式；若不存在，说明理由． 2，如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点，对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”． （1）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，求b的值； （2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=