专题五：抛物线上面积类综合问题的转化与探究-2020中考数学专题突破

专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究 ( 专题导入 ) 导例: 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)． (1)求抛物线的解析式为 ，对称轴为直线 ； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得△MBC的面积是4，则M的坐标为 ． ( 方法点睛 ) 在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标 导例答案： (1)y＝－x2＋2x＋3，x=1；(2)(1，2)或(1，－2)． ( 典例精讲 ) 类型一：由已知面积来定未知面积类问题 例1. 如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式及顶点G的坐标； (2)连接CG,DG，求△GCD的面积； (3)在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【分析】(1)在Rt△ABO中，利用解直角三角形求出OB的长，利用旋转的性质，从而可得A,B,C的坐标，再利用待定系数法求得函数解析式和G点的坐标； （2）利用面积和差或铅垂法来求取； （3）利用两平行线之间的间距相等，求得直线PG的解析式，再与二次函数联立方程组求得答案。 类型二：与面积倍分有关的综合题 例2. 已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E. (1)求抛物线的对称轴及点A的坐标； (2)点P为坐标系内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出出所有满足条件的P点的坐标． (3)连接CA与L交于点D，M为抛物线上一点，是否存在点M，使经过点C、M的直线恰好将四边形DEOC的面积平分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． ( 专题过关 ) 1. 已知：二次函数y＝－x2－2x＋M的图象与x轴交于点A(1，0)、B，与y轴交于点C. (1)求M的值； (2)求点B的坐标； (3)若该二次函数图象上有一点P(不与点C重合)，满足S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，连接BC、BD． （1）求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； （2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标； （3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标． 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(－3，0)． (1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M的坐标；[来源:Zxxk.Com] (3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时△CPB的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P的坐标． 第4题图 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)，B(1，0)两点，顶点为M. (1)求b、c的值； (2)将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式； (3)设(2)中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍，求点P的坐标． 5. 如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E. (1)求OE的长； (2)求过O，D，C三点的抛物线的解析式； (3)若F为过O，D，C三点的抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间T(秒)为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分． 答案： 例1. (1)∵OA＝1，∴A(1，0) ．又∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3．∴B(0，3) ． 将A(1，0)，B(0，3)代入抛物线的解析式， 得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴抛物线的顶点G的坐标为(－1，4)； (2)如解图①，过点G作GE⊥y轴于点E. ∵G(－1，4)，