专题六：旋转中的半倍角模型剖析-2020中考数学专题突破

专题六：旋转中的半倍角模型剖析 ( 专题导入 ) 导例：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°； ②BE=CD；③EA平分∠CEF； ④BE2+DC2=DE2.下其中正确的个数有（ ）． A．１个　 　B．２个　 　　C．３个　　D．４个　　　 ( 方法点睛 ) 图2 图3 如图，已知OA=OB，∠2=∠1+∠3，则可以通过以下解题策略进行转化：连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF′≌△OEF. 模型分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，且共顶点线段相等； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 导例答案：D． ( 典例精讲 ) 类型一：特定角度的半倍构造旋转全等 例1问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可； （3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可． 类型二：一般的半倍角构造旋转全等 例2．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　． 【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF=AG，再证明△AEF≌AEG，可得EF=EG，即可解题； （2）如图2，同理可得：EF=BE+DF； （3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF=BE﹣DF． ( 专题过关 ) 1．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　）． A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9 2．如图，在△ABC中，∠BAE=60°．若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=， BP=5 ，∠APC=120°，则PC=______． 3.正方形ABCD中，E是CD边上一点， （1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD，AB重合，得到△ABF，如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是_______，∠AFB=______； （2）如图2，正方形ABCD中，P，Q分别是BC，CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ； （3）在（2）题中，连接BD分别交AP，AQ于M，N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2. 4. 已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°．把Rt△ABC绕点C旋转． （1）如图1，当点A旋转到ED的延长线上时，若BC=，BE=5，求CD的长； （2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG． 5.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD. （1）如图1.1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由. （2