专题八：一线三等角类型问题的探究-2020中考数学专题突破

专题八：一线三等角类型问题的探究 ( 专题导入 ) 导例:如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为_______． ( 方法点睛 ) 一线三等角类型图例剖析 1.如图1-1-1，∠ACB=∠D=∠E=90°，且∠CAB=45°△ACD≌△CBE，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 2.如图1-1-2，∠ACB=∠D=∠E=90°△ACD∽△CBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似; 3.如图1-1-3，∠ACB=∠D=∠E=90°△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”. 方法提炼：构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-2 3.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3； ( 图 1-2-3 ) 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题， 导例解析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°． ∵∠AOB=∠OBA=45°，∴OA=BA，∠OAB=90°．∴∠OAM+∠BAN=90°．∴∠AOM=∠BAN． 在△AOM和△BAN中， ∴△AOM≌△BAN（AAS）． ∴AM=BN=，OM=AN= ．∴OD=+，BD=-．∴B（+，-）． ∵双曲线y=（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（-））=k． 整理得k2-2k-4=0．解得：k=1±（负值舍去）．∴k=1+． [来源:学科网] ( 典例精讲 ) 类型一：一线三等角下的证明 例1.（1）问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP． （2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用： 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值． 【分析】（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值． 类型二：一线三等角下的函数问题 例2.（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P，Q分别在射线CB，AC上（点P不与点C，点B重合），且保持∠APQ=∠ABC. 点P在线段CB上（如图1），且BP=6，求线段CQ的长； ②若BP=x，CQ=y（如图2），求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与点C，点B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【分析】（1）求线段CQ的长，根据已知条件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先证明△Q