专题十四：最短路径——将军饮马问题探究-2020中考数学专题突破

专题十四：最短路径——将军饮马问题探究 ( 专题导入 ) 导例： 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 ． ( 方法点睛 ) 在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型 （1）“两定一动型”----两个定点+一个动点 两点之间线段最短的应用一般股以下类型，构建“对称模型”实现转化 [来源:学#科#网Z#X#X#K] （2）非典型的“平移型将军饮马” 角到定点 导例答案：3． ( 典例精讲 ) 类型一：一线两定点形成的最短路径型 例1．菱形ABCD在坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），点D在y轴上． （1）求点C，D的坐标； （2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标． 【分析】（1）在Rt△ADO中，利用勾股定理求得OD的长即可解决问题； （2）因为四边形ABCD是菱形，所以B，D关于直线AC对称，设OD交AC于P，此时OP+PB的值最小，求出OP的长即可解决问题． 类型二：一定点与两直线上的动点形成的路径最短型 例2.如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为     . 分析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM，MN，PN在OA，OB的内侧.所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM，MN，PN转化为连接两点之间的路径.如图，把点P分别沿OA，OB对称得P1，P2，则△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1，P2之间的路径，从而转化为求P1，P2两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P1P2＝OP＝6. ( 专题过关 ) 1.如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 . 2. 如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________． 3.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_______． 4．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　． 5．如图，矩形△ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点（含端点），F为CP中点，则△CEF的周长最小值为　 　． 6．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为　 　． 7 （2019年聊城市）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　） A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3） 8.已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时． （1）找到A,B点，保留作图痕迹； （2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？ 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD． 利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法 （2）在（1）的条件下： 证明AE⊥DE； 若CD＝2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1，0)，B（4，0），C（0，3） (1)求抛物线的解析式； （2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边 形PAOC的周长的最小值；若不存在，请说明理由。 11. 已知二次函数的图象经过原点． （1）请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标； （2）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线上，请求出此时函数的解析式； （3）若在（1）中求得的函数的图象上，已知有一点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为-2，能否在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短？若能，请求出这个最短距离；若不能，请说明理由． 专题答案 例1．（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0）