专题十五：最短路径——造桥选址问题探究-2020中考数学专题突破

专题十五：最短路径——造桥选址问题探究 ( 专题导入 ) 导例：如图1，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　　． ( 方法点睛 ) （1）如图，在直线上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。 方法：将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线的对称点A"，连接A"B交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求，此时AM+MN+NB最小为A"B 。 （2）如图，∥，，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。 [来源:学|科|网] 方法：将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M，N即为所求，AM+MN+NB的最小值为A′B+。 （3）如图，点P，Q在∠AOB内，分别在OA，OB上找点C，点D，使四边形PCDQ的周长最小. 方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小 本质为转化思想： （1）化同侧为异侧（对称变换）， （2）平移定距离（平移变换）， （3）化折线为直线（两点之间线段最短） “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 ( 典例精讲 ) 类型一：两定点两动点形成最短路径型 例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a， 0)，F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由． 【分析】四边 ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A′，连接A′M，可得点E的位置，从而问题得解． 类型二：两定点一定角形成最短路径型 例2．如图，在∠POQ内部有两点M，N，∠MOP＝∠NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小； (2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系． [来源:学科网ZXXK] 【分析】分别作M关于射线OP的对称点M′,点N关于射线OQ的对称点N′，连接N′M，连接M′N，即可得到答案. ( 专题过关 ) 1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 . 2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=,连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为 ． 3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′，则当A′B+BE′取最小值时，点E′的坐标为 . 4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为 . 5．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=　　． 6.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B. (1)二次函数的解析式为 ； (2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值； (3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标． 7．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=x与与BC边相交于点D． （1）求点D的坐标； （2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值； 8. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四