专题十一：隐圆——定弦定角求最值及轨迹类问题探究-2020中考数学专题突破

专题十一：隐圆——定弦定角求最值及轨迹类问题探究 ( 专题导入 ) 导例:如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为　　． ( 方法点睛 ) 【模型解读】定角+定长——圆 即当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧 如图，以定长AB为边的三角形ABC,若∠ACB也为定值，则这样的三角形有无数个， 题例运用：口诀：定线定角跑双弧 方法：见定长→对定角→知定圆→找圆心→现“圆”形 导例解析：答案： ( 典例精讲 ) 类型一：定弦定角来求解最值问题 例1．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD，等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为　　． 【分析】由题意可得△ACE≌△DCB，从而得出∠APB=120°，依据AB=6，符合所谓的定长定角定辅助圆，进而解PC最大值问题． 类型二：利用定长定角的辅助圆来求解角度存在性问题 例2．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1； （3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)，代入C（0,1），可求C点坐标为 ； （2） 过点P作PD⊥x轴交CB于D，可用铅垂法求得结果； （3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标． ( 专题过关 ) 1如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，如AB=2，则△AOB的面积的最大值为（ ）． A. 2 B. -1 C. +1 D. 2 2．如图，正方形ABCD的边长为6，G为CD边的中点，动点E、F分别从B、C同时出发，以相同速度向各自终点A，B移动，连接CE，DF交于点P，连接BP，则BP的最小值为 ． 3.如图，边长为2的等边三角形ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为 ． 4.如图，在△ABC中，∠ACB=135°，CD⊥AB，垂足为D，已知AD=4，BD=6，那么三角形ABC的面积为 ． 5.如图，AC为边长为的 菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值． 6．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF； ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP•AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 7.抛物线y=a（x+2）2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（-1，0），OB=OC． （1）求此抛物线的解析式； （2）若把抛物线与直线y=-x-4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点； （3）Q为直线y=-x-4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C（0，-x2），且x1＜＜x2，tan∠OAC=3，△ABC的面积为6． （1）求抛物线的解析式． （2）D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，若以B，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标． （3）抛物线上是否存在一点P，使得∠APB=∠ACO成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9.如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E，F，G分别在边AD，AB，BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁