专题十二：隐圆——动点到定点之定长的轨迹类问题探究-2020中考数学专题突破

专题十二：隐圆——动点到定点之定长的轨迹类问题探究 ( 专题导入 ) 导例：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝3,现有一根长为2的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终在矩形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的面积的面积 ． ( 方法点睛 ) 我们知道，在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆，如图所示，从依据此定义，我们来解决一类定点+定长的动态类问题． 延伸：圆外一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB (P，A，0，B点在同一条直线 上，即P，A，B二点过圆心O) ； 圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ． [来源:Z*xx*k.Com] 应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长． 方法：见动点遇定点→知定长→转到圆→定圆心→现“圆”形 导例解析：∵P是EF的中点，∴BP=EF==×2=1.如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×+2×2=2π+4． ( 典例精讲 ) 类型一：隐圆之动点定长最短距离问题 例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ． 分析：△CEF沿直线EF翻折时，点F为定点，∵CF=PF，∴PF为定线，即动点P到定点F的距离始终不变，即点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上运动．如此一来本题就转化为圆上一点到直线的最短距离问题。 类型二：隐圆之动点定长路径轨迹问题 例2．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（　　）． A． B． C． D．π 【分析】连接OP，则OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，点Q在以点O为圆心，1为半径的圆弧上运动，再由走过的角度代入弧长公式即可． ( 专题过关 ) 1．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______． 2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为　 　． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　 　． 4．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是　 ． 5. （2019年十堰市）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　　．[来源:学|科|网] 6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由． 7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D． (1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？ (2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？ 8.（2019年广州市）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3） 当B，F，E三点共线时．求AE的长． 9. 【问题情境】 如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B. 小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜O