专题十三：辅助圆——90°圆周角所对直径的妙用-2020中考数学专题突破

专题十三：辅助圆——90°圆周角所对直径的妙用 ( 专题导入 ) 导例：如图，已知A(3, 0)，B(1,－4)，直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，则点C的坐标为 ． ( 方法点睛 ) 我们知道，已知线段AB，如下图，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有个数为 个，顶点C的轨迹是 ． 方法：见直角→找斜边（定长）→想直径→定外心→现“圆”形． 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走： （1） 第一步：寻找分类标准： （2） 第二步：尝试作圆； （3） 第三步：依据勾股或相似来列方程； （4） 第四步：解方程并点的合理性． 导例解析：我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 解得m=1或m=3.∴ C（0，-1）或（0，-3）. ( 典例精讲 ) 类型一：确定直角三角形的个数 例1．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据点A，点B，点C为直角顶点三种情况来进行分析． 类型二：利用直径所对圆周角为90°来解决相应问题 例2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧． (1)如图1，当k＝1时，求A，B两点的坐标； (2)如图2，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k＞0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】(1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标； （2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标； （3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°． ( 专题过关 ) 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　 　． 2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为　 　． 3.如图，△ABC为⊙O的内角锐角三角形，AH⊥BC，BE⊥AC交于H，OD⊥BC交BC于点D，求证：AH=2OD． 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，直径CF⊥AB于点E，AD、FC的延长线交于点M． （1）求证：EF=EM； （2）若=，AC=8，求sin∠AME的值． 5．学习与探究： （1）请在图1的正方形ABCD中，作出使∠APB=90°的所有点P，并简要说明做法．我们可以这样解决问题：利用直径所对的圆周角等于90°，作以AB为直径的圆，则正方形ABCD内部的半圆上所有点（A、B除外）为所求． （2）请在图2的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹； （3）如图3，已知矩形ABCD中，AB=4，AC=3，请在矩形内（含边），画出∠APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标． 7.如图1，在直角坐标系xoy中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，16/3）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E． （1）求证：y轴是⊙G的切线； （2）请求⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标； （3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠