专题10 全等三角形中的辅助线构造（举一反三）-2019-2020学年八年级上册数学举一反三系列（沪科版）

专题10 全等三角形中的辅助线构造【举一反三】 【沪科版】 【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】 【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问 题； 【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°． 【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D． （1）PC和PD有怎样的数量关系是　 　． （2）请你证明（1）得出的结论． 【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在 直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明） （2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【考点2 截取法构全等】 【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC． 【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE， CD，BC的数量关系，并说明理由． 【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证： AB＝AC+CD 小明同学经过思考，得到如下解题思路： 在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD （1）请你根据以上解思路写出证明过程； （2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数． 【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究： 在△ABC中，∠ACB＝2∠B． （1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD； （2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【考点3 延长垂线段构全等】 【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 【例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）． 【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC﹣AB＝2BE． 【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E． 求证：BD＝2CE． 【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证： （1）ED∥BC； （2）ED＝（AB+AC+BC）． 【考点4 倍长中线法构全等】 【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形. 【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF． 【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点， 且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∥AB． 【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、 AC于点E、F．求证：BE+C