【暑期特惠04】第12讲 立体几何中球的综合问题-【邦国教育】高考数学培优专题

第十二讲立体几何中球的综合问题 A组 一、选择题 1．(2018年高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为 ，底面圆的直径为 ，所以该圆柱的表面积为 ．故选B． 2．三棱柱 的各个顶点都在球 的球面上，且 平面 。若球 的表面积为 ，则这个三棱柱的体积是（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 平面 ,三棱柱 内接球 , 为距形 的中心, 设球 半径为 ,则 ,即 , 三棱柱的高 , 三棱柱的体积 ,故选C。 3．球 的球面上有四点 ，其中 四点共面， 是边长为2的正三角形，面 面 ，则棱锥 的体积的最大值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】设球心和 的外心为 ，延长 交 于点 ，则由球的对称性可知 ，继而由面 面 可得 EMBED Equation.DSMT4 所在的平面，所以 是三棱锥的高；再由 四点共面可知 是 的中心，故 ，当三棱锥的体积最大时，其高为 ，故三棱锥的体积的最大值为 ，应选A。 4．如图所示，直四棱柱 内接于半径为 的半球 ，四边形 为正方形，则该四棱柱的体积最大时， 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ,则 ,所以直四棱柱的体积为 ,令 ,则 ,则 ,故 ,所以当 时,即 时,体积 最大.故应选D. 5．在正三棱锥 中， 是 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积． 取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN， 同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN， ∵SB⊂平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A， ∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC， ∵三棱锥S-ABC是正三棱锥， ∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直． ∵底面边长 ∴侧棱SA=2， ∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为： ， ∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是 ，故选：B． 二、填空题 6．（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】 [来源:学科网ZXXK] 【解析】设正方体边长为 ，则 ， 外接球直径为 . 7．底面是同一个边长为 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为 。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ，则 的值是 。 【答案】 . 【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图. 如图可知，底面 为正三角形，D为BC的中点，则 ， ， ，故 和 即为二面角 ； 设 交平面ABC于点P，易知P点在AD上，且为 的重心. , ， ， ， ， . 8．已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的表面积为 . 【答案】 【解析】三棱锥 展开后为等边三角形，设边长 ，则 ，则 因此三棱锥 的棱长为 ，三棱锥 的高 ，设内切球的半径为 ， 则 ， ，求的表面积 . 9.已知球 的表面上有 四点，且 两两互相垂直，若 ，求这个球的表面积和体积[来源:Z_xx_k.Com] 解：设过 的平面截球所得截面圆心为 ， 与球面另一交点为 .因为 ，所以 是圆 的直径，且 .因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .如图，过 作平面 ，则直线 为平面 和平面 的交线，点 ，连接 ，在圆 中 ， 为直角，所以 为圆 的直径.设圆 的半径为 ，在 中， ，即 ，所以 .所以 三、解答题 10.棱长为 的正方体容器中盛满水，把半径为 的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大？ 解：过正方体对角线的截面图如图所示， .设小球半径为 ， ，在 中， ， EMBED Equation.KSEE3